La funzione arcotangente

Consideriamo le due equazioni

tg x = a

e
cotg x = a

Esse hanno senso per qualunque valore di a, in quanto le funzioni tangente e cotangente assumono tutti i valori reali;
– una volta individuata una soluzione α dell’equazione in questione, considerando che le funzioni tg e cotg hanno periodo π, si potranno esprimere tutte le soluzioni con la semplice formula x = α + kπ.

Diamo allora le seguenti definizioni per le funzioni arcotangente ed arcocotangente:

DEFINIZIONE DELLA FUNZIONE ARCOTANGENTE

Dato un qualunque numero reale x, si dice arcotangente del numero x (e si indica con arctg x), l’unico angolo α appartenente all’intervallo

(-π/2; π/2)

tale che tg α è uguale ad x.

Perciò poniamo arctg x = α se risulta tg α = x, con la limitazione -π/2 < α < π/2 . Dunque
otteniamo una funzione che ha come dominio tutto R e come codominio l’intervallo (-π/2; π/2) . Si osservi che l’intervallo è aperto perché non è possibile che risulti arctg x =π/2 oppure -π/2, in quanto per tali angoli la tangente non esiste.

Interpretazione geometrica dell’arcotangente

tracciata la semicirconferenza goniometrica giacente nel semipiano x ≥ 0, sia t la retta tangente alla curva nel punto A = (1 ; 0), cioè la retta x= 1. Ora, per determinare l’arcotangente di un dato numero a, si tracci sulla retta t il punto T di ordinata a, e si unisca T con l’origine. Detto P il punto di intersezione tra la semiretta OP e la semicirconferenza, l’angolo AOP è l’arcotangente richiesta:

Ovviamente sarebbe bastato dire che l’angolo richiesto è AOT; si è preferito considerare il punto AOP solo per uniformarsi alla consuetudine per la quale gli angoli si identificano con archi della circonferenza goniometrica.

Tabella di alcuni valori particolari della funzione arcotangente

Simmetrie

L’arcotangente è una funzione dispari, cioè si ha per ogni x reale arctg(−x) = −arctg x.

La figura che segue mostra il grafico della funzione arcotangente:

La funzione arctg x è crescente in tutto R, positiva per x positivo e negativa per x negativo. Il suo codominio è limitato, e siccome per x molto grande essa tende ad avvicinarsi a π/2 (mentre per x grande in modulo ma negativo essa si avvicina a − π/2), il grafico presenta due asintoti orizzontali, di equazioni rispettivamente y = π/2 e y = −π/2.

Come già detto, tramite la funzione arcotangente è molto semplice esprimere le soluzioni dell’equazione tg x = a: basterà scrivere

x = arctg a + kπ, e volendo utilizzare la disparità dell’arcotangente nel caso a < 0.

Ad esempio, le soluzioni dell’equazione tg x = 2 sono date da x = arctg 2 + kπ (notare che sono due per ogni giro), mentre le soluzioni dell’equazione tg x = -4/5 si possono scrivere come x = arctg(-4/5) + kπ oppure come x = −arctg(4/5) + kπ . Ovviamente occorre
fare attenzione nel caso che si debbano selezionare le radici che cadono in un determinato intervallo, ad esempio [0 , 2π]. Per la prima equazione, le radici in questione saranno arctg 2 e π + arctg 2 (come dire che per determinare gli angoli che cadono nel primo giro abbiamo
scelto per k i valori 0 e 1), mentre per la seconda equazione le radici che ci interessano sono π − arctg 4/5 e 2π − arctg 4/5 (perciò i valori di k da scegliere sono 1 e 2)

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