Tutto quello che devi sapere sulle disequazioni ( IV parte)

Equazioni e disequazioni trigonometriche

Prima un breve ripasso:

Relazione fondamentale.

Per ogni θ ∈ R si ha che:

Archi notevoli.

Indichiamo qui sotto le funzioni trigonometriche di alcuni archi notevoli.
Ci limitiamo a quelli contenuti nel primo quadrante, visto che usando opportunamente gli archi associati si trovano facilmente le funzioni trigonometriche dei corrispondenti archi negli altri quadranti.

Archi associati.

Si dicono archi associati ad α gli archi del tipo π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α. Detto P il punto sulla circonferenza trigonometrica corrispondente ad α, gli archi associati individuano punti che si possono ottenere da P mediante opportune simmetrie (rispetto all’origine, agli assi, alle bisettrici dei quadranti) o rotazioni.
Sfruttando tali simmetrie si trovano facilmente le relazioni tra le funzioni trigonometriche di α e dei suoi archi associati.

Formule di addizione e sottrazione.

Formule di duplicazione.

Formule prodotto → somma (formule di Werner).

Formule somma → prodotto (formule di Prostaferesi).

Espressioni di sin α e cos α in funzione di tan(α/2).

Posto t = tan(α/2) si ha che

Equazioni trigonometriche

Equazione fondamentale con il seno.

L’equazione

sin x = λ ha,  nell’intervallo [0, 2π[,

• nessuna soluzione se λ < −1;
• l’unica soluzione x = 3π/2 se λ = −1;
• due soluzioni se −1 < λ < 1, corrispondenti a punti della circonferenza trigonometrica simmetrici rispetto all’asse y;
• l’unica soluzione x = π/2 se λ = 1;
• nessuna soluzione se λ > 1.

Geometricamente tale equazione corrisponde a trovare i punti della circonferenza trigonometrica che hanno ordinata λ.
L’insieme di tutte le soluzioni reali dell’equazione si ottiene traslando di multipli interi di 2π le soluzioni trovate nell’intervallo [0, 2π[.

Equazione fondamentale con il coseno.

L’equazione cos x = λ ha,

nell’intervallo [0, 2π[,

• nessuna soluzione se λ < −1;
• l’unica soluzione x = π se λ = −1;
• due soluzioni se −1 < λ < 1, simmetriche rispetto a 2π (cioè del tipo α, 2π − α);
• l’unica soluzione x = 0 se λ = 1;
• nessuna soluzione se λ > 1.

Geometricamente tale equazione corrisponde a trovare i punti della circonferenza trigonometrica che hanno ascissa λ.
L’insieme di tutte le soluzioni reali dell’equazione si ottiene traslando di multipli interi di 2π le soluzioni trovate nell’intervallo [0, 2π[.

Equazione fondamentale con la tangente.

L’equazione tan x = λ ha sempre un’unica soluzione nell’intervallo ] − π/2, π/2[, qualunque sia il valore di λ.
L’insieme di tutte le soluzioni reali dell’equazione si ottiene traslando di multipli interi di π le soluzioni trovate nell’intervallo ] − π/2, π/2[.

Equazioni con due funzioni trigonometriche.

Un’equazione del tipo sin f(x) = sin g(x)
può essere trasformata, grazie alle formule di Prostaferesi, nell’equazione

Da qui con semplici calcoli si dimostra che le soluzioni dell’equazione iniziale sono l’unione delle soluzioni delle due equazioni:

al variare di k ∈ Z.

In modo del tutto analogo si trasforma un’equazione con due coseni.
Ricordiamo anche che sin θ = cos(π/2 − θ). In questo modo, se necessario, si possono trasformare seni in coseni, e viceversa.

Disequazioni trigonometriche

In questa scheda per ragioni di spazio trattiamo solo disequazioni con il >. Tuttavia il procedimento fondamentale, cioè guardare la circonferenza trigonometrica, si adatta facilmente alle disequazioni con il <.

Disequazione fondamentale con il seno.

Consideriamo la disequazione sin x > λ.

Geometricamente tale disequazione corrisponde a trovare i punti della circonferenza trigonometrica che hanno ordinata > λ.

Pertanto, nell’intervallo [0, 2π], la soluzione è

• tutto l’intervallo se λ < −1;
• tutto l’intervallo tranne x = 3π/2 se λ = −1;
• l’unione [0, x₁ [ ∪ ] x₂, 2π] se −1 < λ < 0, dove x₁ e x₂ (con x₁< x) sono le due soluzioni in [π, 2π] dell’equazione sin x = λ;
• l’intervallo ]x₁, x₂ [ se 0 ≤ λ < 1, dove x₁e x₂ (con x₁< x₂) sono le due soluzioni in [0, π] dell’equazione sin x = λ;
• l’insieme vuoto se λ ≥ 1.
L’insieme di tutte le soluzioni reali della disequazione si ottiene traslando di multipli interi di 2π le soluzioni trovate nell’intervallo [0, 2π].

Disequazione fondamentale con il coseno.

Consideriamo la disequazione cos x > λ.

Geometricamente tale disequazione corrisponde a trovare i punti della circonferenza trigonometrica che hanno ascissa > λ. Pertanto, nell’intervallo [0, 2π], la soluzione è
• tutto l’intervallo se λ < −1;
• tutto l’intervallo tranne x = π se λ = −1;
• l’unione [0, x₁ [ ∪ ] x₂, 2π ] se −1 < λ < 1, dove x₁ e x₂ (con x₁< x) sono le due soluzioni in [0, 2π[ dell’equazione cos x = λ;
• l’insieme vuoto se λ ≥ 1.

L’insieme di tutte le soluzioni reali della disequazione si ottiene traslando di multipli interi di 2π le soluzioni trovate nell’intervallo [0, 2π].

Disequazione fondamentale con la tangente.

L’equazione tan x > λ ha sempre come soluzione l’intervallo ]x₁, π/2[ dove x₁ è l’unica soluzione in ]−π/2, π/2 [ dell’equazione tanx = λ.
L’insieme di tutte le soluzioni reali della disequazione si ottiene traslando di multipli interi di π le soluzioni trovate nell’intervallo ] − π/2, π/2[.

Disequazioni con due funzioni trigonometriche.

La disequazione sin f(x) > sin g(x) può essere trasformata, grazie alle formule di Prostaferesi, in una disequazione che richiede soltanto lo studio del segno di un prodotto.

 

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