Studio di una funzione: funzioni esponenziali. Esercizi svolti

Studio di funzioni esponenziali

Studiare le seguenti funzioni FINO alla derivata prima, tracciarne il grafico ed indicare gli eventuali punti di minimo, massimo (sono locali o assoluti?).

ESERCIZIO 1:

SOLUZIONE:

Classificazione.

E una funzione mista esponenziale fratta. `

Dominio D_f .

L’unica condizione da discutere riguarda il denominatore dell’esponenziale, ossia x ≠ 0, quindi D_f = R \ {0}.

Intersezioni con gli assi.

Non vi sono intersezioni con l’asse x, nè, tantomeno, con l’asse y, visto che 0 ∉ D_f .

Segno.

Siccome la funzione è un prodotto di due termini, ossia l’esponenziale e il quadrato, sempre strettamente positivi sul dominio fissato, si ha che

f(x) > 0 per ogni x ∈ Df .

Comportamento della funzione in punti particolari del dominio.

I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono −∞, 0, +∞.
Abbiamo che:

forma indeterminata che si può risolvere applicando due volte la regola di De l’Hospital:

Poichè solo limite per x → 0⁻  risulta +∞, possiamo concludere che la retta x = 0 è asintoto verticale sinistro.

Abbiamo che:

quindi la funzione non ammette asintoto orizzontale, allora vediamo se esiste l’asintoto obliquo y = mx + q.

Abbiamo che:

dunque non esiste nemmeno l’asintoto obliquo.

Studio della derivata prima.

La derivata è

Analizziamo la monotonia della funzione attraverso la disequazione f′(x) > 0, che, per la (1) , equivale a

Pertanto, la funzione è decrescente su ⌉− ∞, −1/2 ⌉, mentre è crescente sul resto del dominio e quindi il punto x₀ = −1/2 è di minimo locale (locale, perchè f(x₀) = 0.25 · e² ≃ 1.84, mentre f(x) → 0 per x → 0⁺, come visto in precedenza).

Grafico probabile

ESERCIZIO 2:

SOLUZIONE:

Classificazione.

E’ una funzione esponenziale fratta.

Dominio D_f .

Per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il denominatore dell’esponente sia diverso da zero, e pertanto si deve avere:

x² ≠ 0 ⇒ x ≠ 0.

Il dominio della funzione è  D_f = ] − ∞; 0 [ ∪ ] 0; +∞ [.

Segno e Intersezioni con gli assi.

Dunque f(x) > 0 per ogni x appartenente al dominio, inoltre la funzione non è mai nulla, quindi non interseca l’asse x.

Infine la funzione non interseca nemmeno l’asse y perchè 0 ∉ D_f .

Comportamento della funzione in punti particolari del dominio.

I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono 0, −∞, +∞.

Abbiamo che:

quindi possiamo concludere che la retta x = 0 è un asintoto verticale.

Inoltre, abbiamo che:

dunque possiamo concludere che la retta y = 1 è un asintoto orizzontale

Studio della derivata prima.

Abbiamo che:

Studiamo il segno della derivata prima: poniamo f′(x) > 0, ossia

Possiamo concludere che la funzione f è strettamente crescente per x ∈ ] −∞; 0 [ ∪ ] 2; +∞ [, mentre f è strettamente decrescente per x ∈ ] 0; 2 [.

Grafico:

(8303)

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