Si consideri la funzione
(i) Si tracci al meglio il grafico di tale funzione.
(ii) Si dica se la funzionie ammette punti di massimo o minimo locali sul dominio.
Soluzione
Consideriamo la prima funzione:
1. Si ha Df = R\ {0}.
2. f è dispari;
infatti:
3. Il segno di f è il seguente:
4. Calcoliamo i limiti ai bordi del dominio. Si ha:
5. La derivata prima. Si ha
Ne deduciamo il segno di f ‘:
Ne deduciamo che x = −√3 è un punto di minimo locale e che x =√3 è un punto di massimo locale.
6. La derivata seconda. Si ha
Ne deduciamo il segno di f ”:
Ne deduciamo che f ha flessi in x = ±√6, è strettamente convessa negli intervalli(−√6,0) e (√6,+∞) e strettamente concava negli intervalli (−∞−√6) e (0,√6)
Il Grafico
Esercizio 2
Si consideri la funzione f il cui grafico è rappresentato nella figura in basso e si supponga che essa sia di classe C1 negli intervalli in cui essa “appare liscia” .
(i) Si stabilisca il valore di f ‘(−1/2) e di f ‘(−3/2).
(ii) Si stabilisca in quali punti x ∈ R risulta f ‘ (x) = 0.
(iii) Si determinino f ‘−(−1) e f’+(−1).
(iv) È vero che f ‘ (−1) = 0?
(v) Si può applicare il Teorema di Lagrange a f sull’intervallo [−3,−2]? In caso affermativo cosa se ne deduce?
(vi) Il Teorema di Fermat è applicabile a f nel punto x = −1? In caso affermativo cosa se ne deduce?
(vii) Il Teorema di Fermat è applicabile a f nel punto x = 1? In caso affermativo cosa se ne deduce?
Soluzione
Nota:
La nozione di “liscia” utilizzata qui è sicuramente vaga (per questa ragione è posta tra virgolette) e fa appello all’intuizione: rozzamente, con tale espressione intenderemo che il grafico non contiene salti o spigoli nell’intervallo in considerazione.
Definizione
Indice
Funzioni di classe C1
Sia f : I → R, con I ⊆ R intervallo. Si dice che f è di classe C1 su I se f è derivabile su I e f ‘ è continua su I.
(i) f ‘(−1/2) = 1, f ‘ (−3/2) = −1.
(ii) f ‘(x) = 0 in x = 1.
(iii) f ‘−(−1) = −1, f ‘+(−1) = 1.
(iv) No, f non è derivabile in x = −1.
Teorema di Lagrange
Sia f : [a,b] → R continua su [a,b] e derivabile su (a,b). Allora esiste c ∈ (a,b) tale che
(v) Si, tutte le ipotesi sono verificate. Se ne deduce l’esistenza di un punto c ∈ (−3,−2) tale che f ‘(c) = −1/2.
(vi) No, f non è derivabile in tale punto, come già osservato.
Teorema di Fermat
Sia f : (a,b) → R e sia c ∈ (a,b) di massimo o di minimo locale per f in cui f risulti derivabile. Allora f ‘(c) = 0.
(vii) Si, le ipotesi sono soddisfatte. Se ne deduce che f ‘(1) = 0
Esercizio 3
Si consideri la funzione f il cui grafico è rappresentato nella figura in basso e si supponga che essa sia di classe C1 negli intervalli in cui essa “appare liscia” .
(i) Si determinino (se hanno senso e se esistono) i seguenti limiti:
(ii) Si determinino i punti x ∈ R in cui f ‘(x) = 0.
(iii) Si determinino i punti x ∈ R in cui f ‘+(x) = 0.
(iv) Si determinino i punti x ∈ R in cui f ‘−(x) = 0.
(v) È vero che f ‘+(−4) = 0?
(vi) Il Teorema di Rolle è applicabile a f sull’intervallo [−1,1]? In caso affermativo cosa se ne deduce?
(vii) Il Teorema di Lagrange è applicabile a f sull’intervallo [−1,1]? In caso affermativo cosa se ne deduce?
Soluzione
(i) Si ha
(ii) Si ha f ‘(x) = 0 in x = −2.
(iii) Si ha f ‘+(x) = 0 in x = −2.
(iv) Si ha f ‘−(x) = 0 in x = −2 ∨ x = 1.
(v) No, f non è neanche definita in x = −4.
(vi) No, f non è neppure definita su tutto l’intervallo [−1,1].
Teorema di Rolle
Sia f : [a,b] → R continua su [a,b] e derivabile su (a,b) e si assuma che f (a) = f (b). Allora esiste c ∈ (a,b) tale che f ‘(c) = 0.
(vii) No, per la stessa ragione della risposta precedente.
(viii) Si, tutte le ipotesi sono soddisfatte. Se ne deduce l’esistenza di un punto c ∈ (1,2) tale che f ‘(c) = −2 (in realtà in questo caso ogni c ∈ (1,2) soddisfa f ‘(c) = −2).
(ix) Si, se ne deduce che f ‘(−2) = 0.
(x) No, in tale punto f non è derivabile.
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