Esercizi svolti riguardanti alcuni studi di funzione interessanti

ESERCIZIO 1:

Data la funzione

a) determinare il dominio,il segno, i limiti agli estremi e gli eventuali asintoti di f;
b) determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali estremi di f;
c) tracciare un grafico qualitativo di f.

SOLUZIONE:

a)Per determinare il dominio di f, imponiamo che il denominatore sia diverso da zero,quindi  Df = R \ {-2,3}.

Segno.

Per studiare il segno di f risolviamo la disequazione:

Comportamento della funzione in punti particolari del dominio.

Risulta:

b) Si ha:

Studio della derivata prima.

c)

Il grafico qualitativo della funzione f è:

ESERCIZIO 2:

Sia:

a) Disegnare un grafico di f mettendone in evidenza gli zeri, i punti critici,gli intervalli di monotonia e convessità.
b) Verificare in particolare che f ha un unico punto di flesso e determinare il più grande intervallo contenente questo punto sul quale f risulta invertibile.
c) Si calcoli la derivata prima di tale funzione inversa nel punto di flesso.

SOLUZIONE:

Scriviamo:

Il grafico qualitativo della funzione f è:

b)

Per quanto visto al punto precedente, x= ln3 è l’ unico punto di esso della funzione. Inoltre f risulta invertibile negli intervalli:

e quindi, il più grande intervallo che contiene il punto di esso e in cui f è invertibile è:

c)

Poichè f( ln3 ) = 8/27,risulta:

ESERCIZIO 3:

Sia data la funzione reale di variabile reale:

a) Determinarne gli eventuali zeri.

b) Determinarne gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di massimo o di minimo.

c) Verificare che f è un infinito per x→ + ∞ e determinarne l’ordine rispetto alla funzione g(x)=e^x assunta come infinito campione.

d) Tracciare un grafico qualitativo di f.

SOLUZIONE:

a)

Possiamo scrivere:

b)

Si ha:

c)

Poichè

d)

Il grafico qualitativo della funzione f è:

(1208)

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