Esercizi svolti sul calcolo della tangente ad una curva e all’angolo tra due curve

Equazione della tangente a una curva.

Ricordando l’interpretazione geometrica della derivata, segue che, assegnata curva y = f(x), l’equazione della tangente alla curva in un punto P(x₀,y₀) è:

che, come si vede, è l’equazione della retta passante per un punto il cui coefficiente angolare è uguale alla derivata della funzione calcolata nel punto P; cioè:

Angolo tra due curve

Date due curve, le cui equazioni sono y = f₁(x) e y = f₂(x), si definisce come angolo α, in un loro punto comune, P(x₀; y₀) quello formato dalle rispettive tangenti in questo punto. La relazione si ricava dalla trigonometria, ricordando quanto sopra detto, m = y’₀= tanα:

Esercizio 1

Trovare l’angolo α, formato dall’asse x e dalla tangente alla curva y = x – x² nel punto di ascissa x = 1.

Soluzione:

La funzione assegnata è l’equazione di una parabola passante per l’origine (termine noto uguale a zero); Il punto considerato avrà coordinate:

y = 1- 1² = 0

che è una intersezione della parabola con l’asse x.

Per ottenere l’equazione della tangente in questo punto, calcoliamo la derivata della funzione:

y = 1- 2x

se x = 1, la derivata sarà y’ = – 1. L’equazione della tangente sarà

y- 0 = -1 (x -1)

Esercizio 2

Determinare gli angoli formati dalle sinusoidi y₁= sin x e y₂ = sin 2x e dall’asse delle ascisse nell’ origine del piano cartesiano.

Soluzione:

calcoliamo le derivate delle due funzioni:

la derivata nel punto indica il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto, per cui

Esercizio 3

Determinare l’angolo sotto il quale la curva:

Soluzione:

Determiniamo prima il punto di intersezione tra la retta e l’esponenziale:

ricordando che tale angolo è quello formato tra la tangente all’esponenziale e la retta nel punto assegnato, è necessario calcolare la derivata:

questo angolo è quello formato dalla curva con l’asse x, cioè complementare a quello richiesto,ω, che sarà:

Esercizio 4

Determinare il punto della parabola:

Soluzione:

se la tangente è parallela alla retta data, il suo coefficiente angolare è lo stesso della retta,

cioè:

Ora il coefficiente angolare è uguale alla derivata della curva nel punto assegnato; quindi:

Esercizio 5 ( prevede la conoscenza delle funzioni implicite)

Determinare il punto della curva:

Soluzione:

determiniamo il coefficiente della retta assegnata:

la retta perpendicolare avrà coefficiente angolare antireciproco, cioè:

calcoliamo la derivata della funzione implicita:

moltiplicando per il mcm

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