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IL TEOREMA DI DE L’HOPITAL
L’uso delle derivate permette in molti casi di calcolare con facilità dei limiti indeterminati.
ESEMPIO 1:
ESEMPIO 2:
ESEMPIO 3:
Vogliamo calcolare, se esiste,
lim x→ 1 (xa-1)/(x-1)
poniamo
f(x)= xa-1,
g(x)=x-1
Siamo nella forma indeterminata 0/0, le funzioni sono derivabili e g’(x)=1≠0, quindi possiamo applicare la regola di L’Hôpital.
Poiché f’(x)= axa-1
otteniamo
lim x→ 1 f’(x)/g’(x) = lim x→ 1 axa-1/1 = a
quindi anche
lim x→ 1 (xa-1)/(x-1) esiste ed è uguale ad a
ESEMPIO 4:
Vogliamo calcolare, se esiste,
lim x→+∞ x(π/2 -arctanx)
che si presenta nella f.i. ∞ ·0
NON POSSIAMO APPLICARE L’Hôpital, ma possiamo cercare di ricondurci ad una f.i. ∞/∞ oppure 0/0.
Poniamo
f(x)= π/2 -arctanx ,
g(x)=1/x
e scriviamo
x(π/2 -arctanx) =(π/2 -arctanx)/(1/x)
Siamo nella forma indeterminata 0/0, le funzioni sono derivabili
e g’(x)= -1/x2 ≠0 vicino a +∞
quindi possiamo applicare la regola di L’Hôpital.
Poiché
f’(x)=- 1/1+x2
otteniamo
lim x→+∞ f’(x)/g’(x) = lim x→+∞ (-1/1+x2 )/(-1/x2)
= lim x→+∞ x2/(1+x2) =1
quindi anche
lim x→+∞ x(π/2 -arctanx) esiste ed è uguale a 1
ATTENZIONE! Non tutti i limiti del tipo 0/0 oppure ∞/∞ sono risolvibili applicando L’Hôpital !!
Esempio:
Prova ad applicarlo per calcolare
lim x→0+ e-1/x/x
Le condizioni del teorema sono soddisfatte, ma….
f’(x)=(1/x2) e-1/x
quindi dovremmo calcolare
lim x→0+ (1/x2) e-1/x /1
limite peggiore di quello di partenza….!
Basta invece sostituire
1/x=y e otteniamo
lim x→0+ e-1/x/x = lim y→+∞ ye-y = lim y→+∞ y/ey =0
ALCUNI ESERCIZI RISOLTI CON DE L’HOPITAL
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