IL TEOREMA DI DE L’HOPITAL

L’uso delle derivate permette in molti casi di calcolare con facilità dei  limiti indeterminati.

ESEMPIO 1:

ESEMPIO 2:

 

ESEMPIO 3:

Vogliamo calcolare, se esiste,
lim _{x→ 1}  (x^a-1)/(x-1)

poniamo
f(x)= x^a-1,

g(x)=x-1

Siamo nella forma indeterminata 0/0, le funzioni sono derivabili e g’(x)=1≠0, quindi possiamo applicare la regola di L’Hôpital.
Poiché f’(x)= ax^a-1

otteniamo
lim _{x→ 1} f’(x)/g’(x) = lim _{x→ 1} ax^a-1/1 = a

quindi anche

lim _{x→ 1} (x^a-1)/(x-1) esiste ed è uguale ad a

 

ESEMPIO 4:

Vogliamo calcolare, se esiste,
lim _x→+∞ x(π/2 -arctanx) 

che si presenta nella f.i. ∞ ·0
NON POSSIAMO APPLICARE L’Hôpital, ma possiamo cercare di ricondurci ad una f.i. ∞/∞ oppure 0/0.

Poniamo

f(x)= π/2 -arctanx ,

g(x)=1/x

e scriviamo
x(π/2 -arctanx) =(π/2 -arctanx)/(1/x)

Siamo nella forma indeterminata 0/0, le funzioni sono derivabili

e g’(x)= -1/x² ≠0 vicino a +∞
quindi possiamo applicare la regola di L’Hôpital.
Poiché

f’(x)=- 1/1+x²

otteniamo
lim _x→+∞ f’(x)/g’(x) = lim x→+∞ (-1/1+x² )/(-1/x²)

= lim _x→+∞ x²/(1+x²) =1

quindi anche
lim x→+∞ x(π/2 -arctanx) esiste ed è uguale a 1

 

ATTENZIONE! Non tutti i limiti del tipo 0/0 oppure ∞/∞ sono risolvibili applicando L’Hôpital !!

Esempio:

Prova ad applicarlo per calcolare

lim _x→0+ e^-1/x/x

Le condizioni del teorema sono soddisfatte, ma….

f’(x)=(1/x²) e^-1/x

quindi dovremmo calcolare

lim _x→0+ (1/x²) e^-1/x /1

limite peggiore di quello di partenza….!
Basta invece sostituire

1/x=y e otteniamo

lim _x→0+ e^-1/x/x     = lim _y→+∞ ye^-y    =   lim _y→+∞ y/e^y =0

ALCUNI ESERCIZI RISOLTI CON DE L’HOPITAL

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