Calcolare il seguente limite:
Soluzione
Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I. 0/0.
Conviene operare un cambio di variabile:
Pertanto abbiamo:
Dai un occhio a:
Indice
FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI ASSOCIATI
Esercizio 2
Calcolare il seguente limite:
Soluzione
Il limite si presenta sotto forma indeterminata F.I. 0/0.
Conviene operare un cambio di variabile:
x = cos y da cui y = arccos x.
Quando x tende a zero, y tende a π/2.
Pertanto abbiamo:
dove abbiamo utilizzato il risultato dell’esercizio precedente.
Esercizio 3
Calcolare il seguente limite:
Soluzione
Osserviamo che il numeratore è limitato mentre 1/(x2+1) è infinitesima per x → +∞.
Pertanto si ha
Continuità di una funzione
Esercizio 4
Determinare per quali valori del parametro α la funzione
è continua sull’intervallo [−1, +∞) ( [x] denota la parte intera di x).
Soluzione
La parte intera di x è uguale al più grande intero che non supera x. Ad esempio [√2] = 1 e [−π] = −4.
Ricordiamo che
Una funzione è continua in un punto x0 se e solo se
ovvero se limite destro e sinistro coincidono con il valore assunto dalla funzione nel punto.
Osserviamo che la funzione è continua in [−1, +∞) escluso al più lo zero.
Poichè
la funzione è continua a destra dello zero.
Ora
la funzione risulta continua a sinistra se e solo se α − 1 = 1 ovvero α = 2.
Esercizio 5
Determinare per quali valori del parametro α la funzione
risulti continua nel suo dominio.
Soluzione
La funzione risulta continua in tutti i punti escluso al più lo zero.
Poichè
la funzione è continua a sinistra dello zero.
Ora
(abbiamo razionalizzato e tenuto conto del limite fondamentale limx→0 sin x/x = 1) la funzione risulta continua se e solo se a + 3 = 2 ovvero a = −1.
Esercizio 6
Determinare per quali valori di α, β ∈ R la funzione
risulta continua nel suo dominio.
Soluzione
Osserviamo che la funzione risulta continua in tutti i punti escluso al più lo zero.
Abbiamo:
Per risolvere questo esercizio, abbiamo utilizzato i seguenti limiti notevoli:
Limiti notevoli
(628)