Calcolare il valore del limite:
Soluzione
Consideriamo lo sviluppo di Taylor della funzione esponenziale:
e sostituiamolo nell’argomento della funzione seno:
Consideriamo anche lo sviluppo di Taylor della funzione seno:
Osserviamo che
eleviamo infatti alla terza il polinomio contenuto nelle parentesi quadre utilizzando la seguente formula:
Indice
Potenza di un polinomio
La formula costituisce una generalizzazione della formula di Newton per la potenza di un binomio.
Esempio
Nello sviluppo di (a+b+c+d)7, il coefficiente di a2b3cd è:
7!/(2!·3!·1!·1!) = 420.
Il numero totale di addendi in questo sviluppo è Cr4,7 = 120.
Sostituendo si ha:
che, sostituendo a sua volta nel limite proposto:
Esercizio 2
Calcolare il valore del limite:
Soluzione
Effettuiamo il seguente cambiamento di variabile: y = x−1.
Osservato che per x → 1 y → 0,
possiamo scrivere:
Utilizziamo ora i seguenti sviluppi di Taylor:
Perchè:
Sostituendo sopra, utilizzando il principio di sostituzione degli infinitesimi:
Teorema (principio di sostituzione degli infinitesimi)
Siano f1, f2, g1, g2 : A → R quattro funzioni.
Supponiamo che g1 sia un un infinitesimo di ordine superiore a f1 e che g2 sia un un infinitesimo di ordine superiore a f2.
Allora
nel senso che uno dei due limiti scritti sopra esiste se e solo se esiste l’altro e in tal caso sono eguali.
Le formule di Taylor e Maclaurin e l’algebra degli o piccoli
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