Calcolo dei limiti con Taylor. Esercizi risolti

Esercizio 1

Calcolare il valore del limite:

Soluzione

Consideriamo lo sviluppo di Taylor della funzione esponenziale:

e sostituiamolo nell’argomento della funzione seno:

Consideriamo anche lo sviluppo di Taylor della funzione seno:

Osserviamo che

eleviamo infatti alla terza il polinomio contenuto nelle parentesi quadre utilizzando la seguente formula:

Potenza di un polinomio

La formula costituisce una generalizzazione della formula di Newton per la potenza di un binomio.

Esempio

Nello sviluppo di (a+b+c+d)⁷, il coefficiente di a²b³cd è:

7!/(2!·3!·1!·1!) = 420.

Il numero totale di addendi in questo sviluppo è C^r_4,7 = 120.

 

Sostituendo si ha:

che, sostituendo a sua volta nel limite proposto:

Esercizio 2

Calcolare il valore del limite:

Soluzione

Effettuiamo il seguente cambiamento di variabile: y = x−1.

Osservato che per x → 1 y → 0,
possiamo scrivere:

Utilizziamo ora i seguenti sviluppi di Taylor:

Perchè:

Sostituendo sopra, utilizzando il principio di sostituzione degli infinitesimi:

Teorema (principio di sostituzione degli infinitesimi)

Siano f₁, f₂, g₁, g₂ : A → R quattro funzioni.
Supponiamo che g₁ sia un un infinitesimo di ordine superiore a f₁ e che g₂ sia un un infinitesimo di ordine superiore a f₂.
Allora

nel senso che uno dei due limiti scritti sopra esiste se e solo se esiste l’altro e in tal caso sono eguali.

Le formule di Taylor e Maclaurin e l’algebra degli o piccoli

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