ESERCIZIO 1:
Scrivere le formule di MacLaurin arrestate al quart’ordine delle funzioni
a) cos(2x)
b) e−2x
c) ln(1 − 2x)
d) x sin(2x)
SOLUZIONE
Per trovare le formule di MacLaurin arrestate al quart’ordine di ogni funzione proposta (che è una funzione composta di una funzione f(t) di cui si conosce la formula di MacLaurin e di un monomio g(x) di primo grado in x, con l’eccezione dell’ultima che è anche moltiplicata per x), nei primi tre casi scriviamo le formule di MacLaurin arrestate al quart’ordine della funzione f(t) e poi sostituiamo t = g(x), mentre nell’ultimo caso scriviamo le formule di MacLaurin arrestate al terz’ordine (Si noti che non è possibile arrestare al quart’ordine la formula di MacLaurin di sin(t) in quanto la derivata quarta in t = 0 è nulla) della funzione f(t), poi sostituiamo t = g(x) e infine moltiplichiamo per x.
Per quanto riguarda il punto d), notare che moltiplicare per x la funzione ha l’effetto di moltiplicare per x ogni monomio del polinomio di Taylor e anche il resto o(x3) e che x *o(x3) = o(x4).
Verifichiamo almeno nei casi (a) e( d) che la procedura usata equivale al calcolo diretto della formula di MacLaurin. Per trovare il polinomio di MacLaurin di grado 4 di ogni funzione F(x) in esame scriviamo le prime 4 derivate di F(x), il loro valore per x0 = 0 e il coefficiente che si ottiene dividendo ogni derivata k-esima per k!:
QUI TROVI GLI SVILUPPI DI MACLAURIN DELLE PRINCIPALI FUNZIONI
ESERCIZIO 2:
Scrivere la formula di MacLaurin arrestata al quart’ordine della funzione x sin(2x − 1).
SOLUZIONE
ATTENZIONE:
Per scrivere la formula di MacLaurin arrestata al quart’ordine della funzione x sin(2x − 1), NON si può utilizzare il metodo di sostituzione con le modalità viste sopra, poiché – pur essendo la funzione derivabile (con continuità) tutte le volte che si vuole – il punto iniziale x0 = 0 per la funzione composta sin(2x − 1) corrisponde al punto iniziale t0 = −1 per la funzione f(t) = sin(t) e quindi non si può usare la formula di MacLaurin di sin(t) (valida solo se il punto iniziale è t0 = 0). Per evitare le complicazioni legate al calcolo di una tabella come la precedente si può operare in almeno due modi:
I modo:
osserviamo che:
II modo:
calcoliamo la formula di Taylor di sin(t) con punto iniziale t0 = −1 arrestata al terz’ordine; poiché:
ESERCIZIO 3:
Scrivere il polinomio di MacLaurin di grado 4 della funzione (1 + t)1/2 .
Si utilizzi tale formula per ricavare le formule di MacLaurin arrestate al quarto ordine delle funzioni
SOLUZIONE
Per trovare il polinomio di MacLaurin del polinomio (1 + t)1/2 di grado 4, si può applicare l’ultima delle formule di MacLaurin elencate tra quelle di uso frequente, con a = 1/2 ed n = 4:
Stesso risultato si ottiene scrivendo le prime 4 derivate di (1 + t)1/2, il loro valore per t0 = 0 e desumendo il coefficiente di ogni t k (che si ottiene dividendo la derivata k-esima per k!):
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