1. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x→ 0 della funzione:
2. Utilizzando il risultato precedente, calcolare f”(0), f”'(0), e studiare la natura del punto critico x = 0 (massimo, minimo, esso).
SOLUZIONE:
1. Utilizzando gli sviluppi
otteniamo:
Dunque f è un infinitesimo di ordine 3 per x → 0 con parte principale 1/3x3
2. Poichè manca il termine in x2 nello sviluppo di Mc Laurin di f, si ha f”(0) = 0. Inoltre
A questo proposito, ricordiamo la definizione…..:
Evidentemente x = 0 è un punto critico per f (cioè f'(0) =0 )
Per stabilirne la natura ricordiamo il seguente risultato (ricerca dei massimi, dei minimi e dei essi con il metodo
delle derivate successive):
Se in un punto x0 si ha:
Nel nostro caso abbiamo n = 3 e dunque x = 0 è un punto di flesso.
ESERCIZIO 2:
1. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al terzo ordine della funzione
2. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione
3. Utilizzando il risultato precedente, calcolare f”(0), f”'(0), e stabilire se x = 0 è un punto di massimo, di minimo o di esso.
SOLUZIONE:
1 Utilizzando gli sviluppi
2. Si ha:
Quindi f è un infinitesimo del terzo ordine per x→ 0, con parte principale 2/3x3
3. Si ha
Facendo le stesse considerazioni dell’esercizio precedente….
quindi x = 0 è un punto di flesso (ascendente a tangente orizzontale).
ESERCIZIO 3:
1. Calcolare lo sviluppo di McLaurin al quarto ordine della funzione:
2. Utilizzando il risultato precedente, calcolare f(4)(0)
3. Calcolare il limite
SOLUZIONE:
1.Utilizzando gli sviluppi
2. Poichè manca il termine in x4 nello sviluppo di Mc Laurin di f, si ha f(4)(0) = 0.
3. Dallo sviluppo
per la definizione di o-piccolo. Non è dunque necessario calcolare la parte principale del numeratore (sviluppando al quinto ordine) ai fini del calcolo del limite.
[elementor-template id=”10963″]
(1364)