Esercizi svolti con sviluppo di Taylor e con resto di Peano

Resto di Peano

Il resto nella forma di Peano è indicato semplicemente con la notazione di o piccolo:

Nel caso particolare n = 1, la formula di Taylor con il resto di Peano diventa:

La formula di Taylor con il resto di Peano risulta particolarmente utile nel calcolo di limiti di funzioni.

ESERCIZIO 1

Calcolare lo sviluppo di Taylor con resto di Peano delle seguenti funzioni nel punto x₀ indicato e fino all’ ordine n richiesto:

SOLUZIONE

1. Con la sostituzione

Ritornando alla variabile x si ha

2. Con la sostituzione

3. Posto

x -1 = t

dobbiamo calcolare lo sviluppo al secondo ordine centrato in t₀ = 0 della funzione

Poichè questa è un polinomio, il suo sviluppo di McLaurin coincide con la funzione stessa.
Essendo richiesto lo sviluppo al secondo ordine possiamo trascurare il termine cubico, ottenendo

Un altro metodo consiste nell’utilizzare direttamente la formula di Taylor, calcolando f(1), f'(1) e f”(1):

Riotteniamo così il risultato precedente.

4. Con la sostituzione

ESERCIZIO 2

Calcolare lo sviluppo di Taylor con resto di Peano delle seguenti funzioni nel punto x₀ indicato e fino all’ ordine n richiesto:

SOLUZIONE

1. Utilizziamo lo sviluppo fondamentale

poichè la funzione sin x è infinitesima per x → 0 otteniamo lo sviluppo

2. Poichè cos x→ 1 per x→ 0, possiamo scrivere la funzione cos x come 1 + z, dove z è un infinitesimo per x→ 0. Infatti dallo sviluppo

Sostituiamo dentro al logaritmo e usiamo lo sviluppo

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