Resto di Peano
Il resto nella forma di Peano è indicato semplicemente con la notazione di o piccolo:
Nel caso particolare n = 1, la formula di Taylor con il resto di Peano diventa:
La formula di Taylor con il resto di Peano risulta particolarmente utile nel calcolo di limiti di funzioni.
Calcolare lo sviluppo di Taylor con resto di Peano delle seguenti funzioni nel punto x0 indicato e fino all’ ordine n richiesto:
SOLUZIONE
1. Con la sostituzione
Ritornando alla variabile x si ha
2. Con la sostituzione
3. Posto
x -1 = t
dobbiamo calcolare lo sviluppo al secondo ordine centrato in t0 = 0 della funzione
Poichè questa è un polinomio, il suo sviluppo di McLaurin coincide con la funzione stessa.
Essendo richiesto lo sviluppo al secondo ordine possiamo trascurare il termine cubico, ottenendo
Un altro metodo consiste nell’utilizzare direttamente la formula di Taylor, calcolando f(1), f'(1) e f”(1):
Riotteniamo così il risultato precedente.
4. Con la sostituzione
ESERCIZIO 2
Calcolare lo sviluppo di Taylor con resto di Peano delle seguenti funzioni nel punto x0 indicato e fino all’ ordine n richiesto:
SOLUZIONE
1. Utilizziamo lo sviluppo fondamentale
poichè la funzione sin x è infinitesima per x → 0 otteniamo lo sviluppo
2. Poichè cos x→ 1 per x→ 0, possiamo scrivere la funzione cos x come 1 + z, dove z è un infinitesimo per x→ 0. Infatti dallo sviluppo
Sostituiamo dentro al logaritmo e usiamo lo sviluppo
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