I segreti matematici di…Twin Peaks

“Il passato dovrebbe essere accolto come una confezione di fragole fresche, sciacquate dalla polvere, addolcite con giudizio e servite in piccole porzioni, non molto spesso.”

da: I segreti di Twin Peaks

L’omicidio di Laura Palmer a Twin Peaks, la cittadina dove era ambientata la nota serie televisiva ideata da David Lynch, ha qualche implicazione matematica? Non in questo caso.
Ebbene, cosa si intende in matematica con il termine “twin peaks”, ossia “cime gemelle”?

Consideriamo un intero n > 2 e identifichiamo con mfp(n) il minimo fattore primo di n. Ossia se

n = p₁^α1 p₂^α2 p₃^α3 …….p_k^αk  per i < j ≤ k

 allora

mfp(n) = p₁.

Se disegnassimo questa funzione discreta su di un grafico vedremmo tutta una serie di picchi accoppiati.
Il grande matematico ungherese Paul Erdös, assieme a Carole Lacampagne e John Selfridge, studiò i minimi fattori primi del coefficiente binomiale, cioè:

arrivando a formulare la congettura per cui

Inoltre definì coefficienti binomiali “buoni” ed “eccezionali”.
Un coefficiente binomiale:

è buono se soddisfa alla relazione:

mentre è eccezionale se soddisfa a:

Torniamo ora alle cime gemelle.
Due numeri a e b, entrambi maggiori di 2 e con a < b, costituiscono delle cime gemelle se soddisfano ai seguenti vincoli:

mfp(a) = mfp(b)
mfp(c) < mfp(a) per ogni c con a < c < b

Una coppia di cime gemelle è perciò formata da due picchi di uguale altezza, pari a mfp(a), con nessun’altra montagna tra loro di altezza pari o superiore a essi. Si definisce poi come distanza tra le cime la differenza b –a = d.

La distanza d sarà un multiplo pari di mfp(a).

Indicando p = mfp(a) abbiamo quindi che d = kp, con k pari. Così avremo delle coppie a distanza 2k, 4k, 6k ecc. L’insieme delle cime gemelle con
distanza kp è periodico con periodo pari a p#, essendo p# il primoriale di p, cioè se a e b sono cime a distanza kp allora lo saranno anche a + p# e b + p#. Diversi studi sono stati fatti per determinare il minimo p che produca una coppia a distanza 2p. Fred Helenius ha per ora il primato con
p = 71.
Esistono 240 coppie “base” a distanza 2p, con p = 71, delle quali la più piccola è:

7310131732015251470110369 e 7310131732015251470110511
Infatti:
7310131732015251470110369 ha fattori pari a 71, 51347 e 2005172685052091437.
7310131732015251470110369 + 2 · 71  = 7310131732015251470110511.
7310131732015251470110511 ha fattori pari a 71 e 102959601859369739015641.

La più piccola coppia di cime gemelle a distanza 2p finora conosciuta vale per p = 73:
2061519317176132799110061 e 2061519317176132799110207.

Abbiamo:
2061519317176132799110061 ha fattori pari a 73, 886149827 e 31868189538391.
2061519317176132799110061 + 2 · 73 = = 2061519317176132799110207.
2061519317176132799110207 ha fattori pari a 73, 331, 1051 e 81177157264261039.

A distanza 4p il più piccolo valore di p, a oggi scoperto che produce cime parallele a tale distanza è 1327 (Wilson).

A distanza 6p ancora non se ne conosce nessuno.
Quello delle cime gemelle è quindi un argomento che attende di essere ampiamente arricchito con nuove scoperte, spostando i diversi limiti finora
trovati ancora un po’ più in là.

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