Verificare che la seguente funzione è continua in x = 0 e stabilire se è ivi anche derivabile:
SOLUZIONE:
Per provare che la funzione è è continua in x = 0 dobbiamo verificare che
Dunque, sfruttando i risultati degli esercizi precedenti abbiamo che:
Per vedere se f(x) è anche derivabile in x = 0, cerchiamo il limite del rapporto incrementale:
NOTA BENE!
Usando le formule di Taylor arrestate allo stesso ordine che era stato utile per mostrare la continuità della funzione si manifesta una forma di indecisione: questa situazione si presenterà in ogni esercizio dello stesso tipo. Infatti per provare la continuità in x0 di una funzione f(x) basta mostrare che f(x0 + h) − f(x0) = o(h) ; invece per provarne la derivabilità si deve calcolare proprio il limite al tendere di h a 0 del rapporto o(h)/h e quindi si deve precisare quanto “vale” l’o(h).
Definizione: funzione derivabile in un punto – derivata in un punto
Una funzione si dice derivabile in un punto x0 se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale della funzione quando l’incremento h della variabile tende a zero, cioè se esiste ed è finito il seguente limite:
Se il precedente limite non esiste, oppure non dà come risultato un numero finito, allora diremo che la funzione f(x) non è derivabile nel punto x0
Dobbiamo migliorare l’approssimazione al numeratore e al denominatore! Usando le formule sopra riportate arrestate al quart’ordine si ottiene:
Dunque:
ne segue che f(x) è anche derivabile in x = 0 e f'(0) = −18, come mostra la figura seguente, nella quale in nero è rappresentata la funzione f(x) e in rosso un segmento della retta tangente al suo grafico in (0, −4).
ESERCIZIO 2
Verificare che la seguente funzione è continua in x = 0 e stabilire se è ivi anche derivabile:
SOLUZIONE:
Per provare che la funzione è è continua in x = 0 dobbiamo verificare che:
Ricordiamo che:
Per vedere se f(x) è anche derivabile in x = 0, cerchiamo il limite del rapporto incrementale:
Usando le formule sopra riportate arrestate al quint’ordine si ottiene:
Ne segue che f(x) è anche derivabile in x = 0 e f'(0) = 9, come mostra la figura successiva, nella quale in nero è rappresentata la funzione f(x) e in rosso un segmento della retta tangente al suo grafico in (0, 4).
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