Le formule di Taylor e Maclaurin

A cosa servono le formule di Taylor e Maclaurin?

Lo scopo delle formule di Taylor e di McLaurin è di approssimare una funzione con un polinomio di grado arbitrario centrato in x₀ , nel caso della formula di Taylor, e in 0 nel caso di quella di McLaurin.

Polinomio di Taylor

Dalla teoria della derivazione, sappiamo che se f : (a, b) -> R è derivabile in x₀ ∈ (a, b) allora La scrittura

dice che in un intorno di x₀ la funzione f si può approssimare con il polinomio di primo grado Se più in generale la funzione f : (a, b) -> R è differenziabile n volte, esiste un polinomio di grado n che approssima f in un intorno di x₀, ovviamente meglio del polinomio di primo grado sopra indicato?

Formula di Maclaurin

La (1), nel caso particolare x₀ = 0 diventa e si chiama formula di Maclaurin di grado 1. Per la formula di Maclaurin di grado n cercheremo T_n, polinomio di grado n, tale che più in generale

Definizione (Formula di Maclaurin (o Mac Laurin o MLaurine), 1717)

ESEMPIO Calcolare il polinomio di Maclaurin di:

f (x) = e^x

di ordine n. La funzione e^x in [−1, 1] (in nero), la formula di Maclaurin T_k di grado 1 (in verde), la formula di Maclaurin di grado 2 (in rosso), la formula di Maclaurin di grado 3 (in magenta). L’errore assoluto |e^x − T_k (x)| in [−1, 1], relativamente alla formula di Maclaurin T_k di grado 1 (in verde), la formula di Maclaurin di grado 2 (in rosso), la formula di Maclaurin di grado 3 (in magenta). Nota. Notiamo dalla figura che La qualità dell’approssimazione migliora al crescere del grado del polinomio di Maclaurin. L’approssimazione è buona solo in un intorno di 0. L’errore assoluto vicino a 0 è piccolo, ma non è così in x = 1.

Formula di Taylor

Definizione Sia f : (a, b) -> R derivabile n volte in x₀ ∈ (a, b). Allora la scrittura e nota come formula di Taylor di ordine n, centrata in x₀, con resto di Peano. Inoltre si chiama polinomio di Taylor. Teorema Siano f : [a, b] → R e x0 ∈ [a, b]. Se f è n volte derivabile in [a, b]; f è n + 1 volte derivabile in [a, b]\x₀; f ⁽ⁿ⁾ è continua in [a, b] ,allora per ogni x ∈ [a, b]\x₀ esiste ξε(x) tra x e x₀ tale che dove T_n è  il polinomio di Taylor di ordine n e centro x₀ della funzione f .

Su o(f (x)).

Ricordiamo le seguenti Notazione Definizione

algebra degli o-piccoli

Teorema Vale la seguente algebra degli o-piccoli, per x -> 0:

Ordine di infinitesimo.

Nota

Calcolare l’ordine di infinitesimo di f è equivalente a trovare α tale che, per L ∈ R, ESEMPIO Si calcoli: Osserviamo che, per quanto noto dalla formula di Maclaurin  

Di conseguenza, visto che o(x)/x  -> 0 per x -> 0,

Nota La tecnica consiste nel determinare che il numeratore è del tipo:

(833)