Continuità di una funzione. Tratto da tema d’esame

Esercizio

Verificare se esistono dei parametri λ e µ per i quali risulti continua in x = 0 la funzione:

Soluzione

Definizione di Continuità.

Sia f : A → R e sia x₀ ∈ A. f si dice
(i) continua a destra in x0 se f (x0) = lim_x→x0⁺ f (x).
(ii) continua a sinistra in x0 se f (x0) = lim_x→x0^– f (x).
(iii) continua in x₀ se è sia continua a destra, sia continua a sinistra in x₀, equivalentemente se f (x₀) = lim_x→x0f(x).
Inoltre, se I ⊆ A è un intervallo, si dice che f è continua in I se essa è continua in ogni x₀ ∈ I. Nel caso in cui x₀ sia un estremo dell’intervallo I tale continuità va intesa come
• continuità a destra, nel caso in cui x₀ sia l’estremo sinistro dell’intervallo;
• continuità a sinistra, nel caso in cui x₀ sia l’estremo destro dell’intervallo.

Bisogna calcolare il limite destro del primo termine:

Considerando lo sviluppo in serie di Mc Laurin si ottiene:

Le formule di Taylor e Maclaurin

e quindi il limite diventa:

Ricordando che:

Quindi, essendo f(0) = 1, non esistono valori del parametro λ per i quali la funzione sia continua a destra.

algebra degli o-piccoli

Teorema
Vale la seguente algebra degli o-piccoli, per x -> 0:

Per completezza studiamo anche la continuità a sinistra.

Calcoliamo il limite sinistro del terzo termine:

Considerando lo sviluppo in serie di Mc Laurin si ottiene:

e quindi il limite diventa:

Ricordando che:

Quindi se x < 0 ⇒ f è continua a sinistra;

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