Analisi Matematica Esercizi svolti da temi d’esame -2-

Esercizio 1

Sia:

Determinarne:

• dominio
• limiti agli estremi del dominio
• eventuali asintoti orizzontali
• eventuali asintoti verticali
• eventuali asintoti obliqui
• derivata prima
• derivata seconda
• intervalli di monotonia, eventuali punti stazionari e loro classificazione
• intervalli di convessità ed eventuali punti di flesso
• Il grafico

Soluzione

Dominio

La funzione è ben definita se x² − 1 > 0.

Tale condizione garantisce che il logaritmo abbia un argomento positivo e allo stesso tempo che non si annulli il denominatore della frazione 1/(x² -1).

Indicando con D(f) il dominio della funzione f, risulta quindi

D(f) = (−∞, −1) ∪ (1 , ∞).

Dai un occhio a questi esercizi su Campo di esistenza di funzioni logaritmiche e irrazionali

Limiti agli estremi del dominio

Si ha:

Inoltre

Qui trovi la tabella dei limiti notevoli

Eventuali asintoti orizzontali

Dai limiti precedentemente svolti si deduce che non sono presenti asintoti orizzontali.

Eventuali asintoti verticali

Dai limiti precedentemente svolti si deduce che le rette x = ±1 sono asintoti verticali.

Eventuali asintoti obliqui

Asintoto obliquo

Assegnata una funzione, si utilizza il calcolo dei limiti per determinare l’eventuale asintoto obliquo a tale funzione. Ricordiamo che un asintoto obliquo è una retta del tipo:

Osservazioni:

1. una funzione algebrica intera non presenta asintoti obliqui,
2. una funzione algebrica razionale fratta ammette un solo asintoto obliquo (che non potrà mai coesistere con l’asintoto orizzontale) solo quando il grado del numeratore supera di uno il grado del denominatore,
3. le funzioni irrazionali il cui campo di esistenza si estende all’infinito potranno anche aver più asintoti obliqui o asintoti orizzontali e obliqui.

Utilizzando la gerarchia degli infiniti si ha:

quindi concludiamo che non sono presenti asintoti obliqui.

Derivata prima

Derivata seconda

Intervalli di monotonia, eventuali punti stazionari e loro classificazione

Pertanto i punti x = ±√2 risultano essere punti di minimo relativo (difatti di minimo assoluto).

Intervalli di convessità ed eventuali punti di flesso

f′′(x) > 0 se −x⁴ + 3x² + 2 > 0.

Tale disuguaglianza è bi-quadratica e può essere risolta ponendo x² = t .

Con semplici conti si ottiene che

Grafico qualitativo

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