Studio di funzione. Impariamo a calcolare il periodo di funzioni composte

Esercizio

Studiare la funzione

Soluzione

Insieme di definizione

Osserviamo che la funzione è periodica di periodo 2π.

Infatti

Per la Proposizione 3 che vediamo qui sotto:

Periodo di una funzione

Definizione:

Sia f : D → R una funzione, D ⊆ R e sia T un numero reale positivo. Si dice che f è periodica di periodo T se, per ogni x ∈ D e per ogni k ∈ Z , si ha
f(x +kT) = f (x ).

Osservazione:

Visto che k ∈ Z è arbitrario, è indifferente scrivere f(x +kT) = f (x) o f(x −kT) = f ( x) . Per convenzione, davanti al periodo, utilizzeremo sempre il segno +.
2. Visto che la precedente uguaglianza deve valere per qualsiasi intero k, se ne deduce che il dominio D non può essere limitato. In altre parole, le funzioni con dominio limitato non sono periodiche.
3. Se la funzione si ripete dopo ogni intervallo di ampiezza T, per rappresentare in modo qualitativo il grafico della funzione è sufficiente prendere in considerazione un qualunque intervallo di ampiezza T.

Proposizione 1:

Sia y = f (x) una funzione periodica di periodo T. Allora:
1. la funzione y = f (x)+m, m∈ R , ha periodo T;
2. la funzione y = f(x +m), m∈ R , ha periodo T;
3. la funzione y = f (nx), n ∈ R \{0} , ha periodo T/|n|;
4. la funzione y = n* f(x) , n ∈ R \{0} , ha periodo T;
5. la funzione y =1 /f (x), ha periodo T.

Proposizione 2:

Sia f : D →R una funzione con D ⊆ R periodica di periodo T. Sia g (x ) una funzione non periodica e non costante. Allora:
1. f (x )+g x( ), f (x) −g (x), f (x)*g (x ), f (x ) / g ( x) con g (x) ≠ 0, f _°g ( x) non sono funzioni periodiche.
2. g_° f (x) è una funzione periodica di periodo T.

Proposizione 3:

Sia f ( x) una funzione che risulta essere somma o prodotto di funzioni periodiche.
f₁ (x), f₂ (x ), f₃ (x ), … di periodo rispettivamente T₁ , T₂ , T₃ , …. Allora:
1. f ( x) è una funzione costante e quindi non periodica;
2. oppure, se i periodi T_i sono commensurabili, allora la funzione f è periodica di periodo T ≤ mcm { T_i, i ∈ N} e vale “=” se e solo se i T_i sono a due a due distinti;
3. oppure, se i periodi T_i sono incommensurabili, allora la funzione f non è periodica (in questo casi si dice essere approssimativamente periodica).

Grandezze commensurabili e incommensurabili

Si dicono commensurabili tra loro due grandezze omogenee A, B quando l’una è uguale a m volte la n-ma parte dell’altra (m, n interi), cioè quando le due grandezze hanno un sottomultiplo comune. Ciò vuol dire che il loro rapporto è una frazione (numero razionale), che in particolare può essere un numero intero. Al contrario, due grandezze si dicono non commensurabili (o incommensurabili), quando il loro rapporto non è una frazione.

Per esempio, in un triangolo rettangolo avente un angolo di 30° l’ipotenusa e il cateto minore sono commensurabili, mentre in un quadrato il lato non è c. con la diagonale.