Funzione Inversa: Come Usarla per la Pianificazione Aziendale (Esercizi Svolti)

Avere un obiettivo chiaro è la parte facile. Che sia raggiungere un budget di costo, ottenere un prezzo di acquisto vantaggioso o garantire un certo livello di produzione, il vero lavoro sta nel capire quali azioni compiere per arrivarci.

Spesso, nei processi aziendali, conosciamo il risultato che vogliamo ma dobbiamo calcolare a ritroso i passi necessari.

E se ci fosse uno strumento matematico preciso per fare proprio questo?

La funzione inversa non è solo un concetto astratto da manuale di algebra, ma un vero e proprio “GPS strategico”.

Invece di dirti dove arriverai partendo da un punto, ti mostra la strada da percorrere partendo dalla destinazione.

In questo articolo, vedremo attraverso 6 esempi pratici, dal più semplice al più complesso, come la funzione inversa diventa un alleato quotidiano per chi si occupa di finanza, logistica e produzione, trasformando gli obiettivi in decisioni operative concrete.

Esercizio 1 (Facile) – Punto di Pareggio

Testo:

Un’azienda che produce borracce personalizzate ha un costo fisso di produzione di €500 (per il setup delle macchine) e un costo variabile di €3 per borraccia prodotta. La funzione costo totale è [math]C(x)=3x+500[/math], dove [math]x[/math] è il numero di borracce.

Il reparto vendite vuole sapere: quante borracce devono essere prodotte per raggiungere un costo totale di €2000? Trova l’inversa della funzione costo e usala per rispondere.

Risoluzione:

Identificare la Funzione e Scopo dell’Inversa:

La funzione data è [math]C(x)=3x+500[/math]. Vogliamo trovare il valore di [math]x[/math] (input originale) che restituisce un dato valore di [math]C(x)[/math] (output). Questo è esattamente il compito della funzione inversa, [math]C^{-1}(y)[/math], che risponde alla domanda: “Per un dato costo [math]y[/math], quante borracce [math]x[/math] sono state prodotte?”.

Trovare l’Espressione dell’Inversa:

1. Sostituiamo [math]C(x)[/math] con [math]y[/math]: [math]y=3x+500[/math].
2. Scambiamo i ruoli di [math]x[/math] e [math]y[/math]. Questo è il cuore del concetto di inversa: stiamo cercando la funzione che “disfa” l’originale. Otteniamo: [math]x=3y+500[/math].
3. Risolviamo per [math]y[/math] (che ora è la nostra funzione inversa):[math]\begin{aligned} x-500&=3y \\ y&=\frac{x-500}{3} \end{aligned}[/math]
4. Scriviamo la funzione inversa: [math]C^{-1}(x)=\frac{x-500}{3}[/math].

Utilizzare l’Inversa per Risolvere il Problema:

Il problema ci chiede il numero di borracce per un costo di €2000. Applichiamo la funzione inversa con [math]x=2000[/math]:

[math]\displaystyle C^{-1}(2000)=\frac{2000-500}{3}=\frac{1500}{3}=500[/math]

Risposta:

Per raggiungere un costo totale di €2000, l’azienda deve produrre 500 borracce.

Osservazioni:

💡 La funzione costo è iniettiva (è una retta crescente), quindi ammette inversa. L’inversa di una funzione lineare [math]f(x)=mx+q[/math] è anch’essa lineare: [math]f^{-1}(x)=\frac{x-q}{m}[/math]. In un contesto aziendale, l’inversa ci permette di fare “ragionamenti all’indietro” dagli obiettivi (costo, ricavo) alle azioni necessarie (quantità da produrre).

Domanda di Riflessione:

Quale proprietà algebrica della funzione lineare abbiamo sfruttato per essere sicuri di poter trovare l’inversa?

Esercizio 2 (Facile/Medio) – Sconto Quantità

Testo:

Un fornitore di componenti elettronici applica uno sconto progressivo. Il prezzo unitario [math]P[/math] (in €) in funzione della quantità [math]q[/math] acquistata è dato da: [math]P(q)=10-0.02q[/math], per [math]0 \leq q \leq 400[/math].

L’ufficio acquisti ha un budget di €5 per componente. Determina la quantità minima da ordinare per ottenere quel prezzo, trovando l’inversa di [math]P(q)[/math].

Risoluzione:

Analisi del Dominio e della Funzione:

La funzione è [math]P(q)=10-0.02q[/math], ed è definita per [math]q[/math] tra 0 e 400. È una retta decrescente, quindi è iniettiva e invertibile nel suo dominio.

Trovare l’Inversa:

1. Poniamo [math]y=10-0.02q[/math].
2. Scambiamo [math]x[/math] e [math]y[/math]: [math]x=10-0.02y[/math].
3. Risolviamo per [math]y[/math]:[math]\begin{aligned} 0.02y&=10-x \\ y&=\frac{10-x}{0.02} \\ y&=\frac{10-x}{1/50} \\ y&=50(10-x) \end{aligned}[/math]

La funzione inversa è [math]P^{-1}(x)=50(10-x)[/math]. Questa funzione risponde alla domanda: “Per ottenere un prezzo unitario [math]x[/math], quanti componenti [math]q[/math] devo acquistare?”.

Applicare l’Inversa:

Vogliamo un prezzo [math]x=5[/math] €. Calcoliamo:

[math]\displaystyle P^{-1}(5)=50(10-5)=50\times 5=250[/math]

Risposta:

Per ottenere un prezzo unitario di €5, l’ufficio acquisti deve ordinare almeno 250 componenti. (Nota: “almeno” perché all’aumentare di [math]q[/math] il prezzo scende ulteriormente).

Osservazioni:

💡 Il dominio della funzione originale [math]P(q)[/math] era [math][0,400][/math]. Il codominio di [math]P(q)[/math] è [math][P(400),P(0)]=[2,10][/math]. Di conseguenza, il dominio della funzione inversa [math]P^{-1}(x)[/math] sarà [math][2,10][/math]. Questo è un punto cruciale: dominio e codominio si scambiano quando si passa alla funzione inversa.

Domanda di Riflessione:

Perché è stato importante specificare il dominio [math]0 \leq q \leq 400[/math] nel testo del problema?

Esercizio 3 (Medio) – Ottimizzazione del Lotto di Produzione

Testo:

In un processo produttivo, il costo di stoccaggio giornaliero per un lotto di prodotti finiti è modellato dalla funzione [math]C(n)=100+25\sqrt{n}[/math], dove [math]n[/math] è il numero di articoli nel lotto.

Il responsabile della logistica vuole capire la dimensione massima di un lotto che può essere stoccato con un budget giornaliero di €175. Trova la funzione inversa e usa il suo grafico per determinare la soluzione.

Risoluzione:

Impostazione del Problema:

La funzione è [math]C(n)=100+25\sqrt{n}[/math]. Dobbiamo trovare [math]n[/math] tale che [math]C(n)=175[/math]. Troviamo l’inversa.

Trovare l’Inversa:

1. [math]y=100+25\sqrt{n}[/math]
2. Isoliamo il termine con [math]\sqrt{n}[/math]:[math]\begin{aligned} y-100&=25\sqrt{n} \\ \frac{y-100}{25}&=\sqrt{n} \end{aligned}[/math]
3. Eleviamo al quadrato entrambi i membri per eliminare la radice:[math]\displaystyle \left(\frac{y-100}{25}\right)^2=n[/math]

La funzione inversa è [math]C^{-1}(y)=\left(\frac{y-100}{25}\right)^2[/math].

Grafico:

 

 

Risposta:

Con un budget giornaliero di €175, la dimensione massima del lotto è di 9 articoli.

Osservazioni:

💡 Quando si eleva al quadrato per trovare l’inversa, è fondamentale verificare il dominio. Poiché [math]n[/math] rappresenta un numero di articoli, [math]\sqrt{n}[/math] è definita e restituisce un valore non negativo, quindi non introduciamo soluzioni estranee. La funzione originale è iniettiva sul suo dominio [math]n\geq 0[/math].

Domanda di Riflessione:

Perché, nel passaggio di elevazione al quadrato, non abbiamo dovuto considerare la soluzione negativa della radice?

Esercizio 4 (Medio/Difficile) – Rendimento Decrescente

Testo:

In un reparto di assemblaggio, il numero di pezzi prodotti [math]N[/math] (in centinaia) in una giornata dipende dal numero di operatori [math]o[/math] secondo la funzione [math]N(o)=\frac{20o}{o+4}[/math], con [math]o\geq 0[/math].

Data una certa produzione target [math]T[/math] (in centinaia di pezzi), determina quanti operatori sono necessari. Trova l’inversa di [math]N(o)[/math] e calcola il numero di operatori per una produzione di 1500 pezzi (cioè [math]T=15[/math]).

Risoluzione:

Analisi della Funzione:

[math]N(o)=\frac{20o}{o+4}[/math] è una funzione razionale fratta. Rappresenta un rendimento decrescente: all’aumentare degli operatori, la produzione si avvicina asintoticamente a 20 (centinaia).

Trovare l’Inversa:

1. [math]y=\frac{20o}{o+4}[/math]
2. Poiché la variabile [math]o[/math] appare sia al numeratore che al denominatore, moltiplichiamo entrambi i membri per [math](o+4)[/math]: [math]y(o+4)=20o[/math].
3. Espandiamo: [math]yo+4y=20o[/math].
4. Portiamo i termini con [math]o[/math] da una parte: [math]yo-20o=-4y[/math].
5. Raccogliamo [math]o[/math]: [math]o(y-20)=-4y[/math].
6. Isoliamo [math]o[/math]: [math]o=\frac{-4y}{y-20}[/math]. Possiamo semplificare moltiplicando numeratore e denominatore per -1:[math]\displaystyle o=\frac{4y}{20-y}[/math]

La funzione inversa è [math]N^{-1}(T)=\frac{4T}{20-T}[/math].

Applicazione:

Per una produzione target [math]T=15[/math] (centinaia), calcoliamo:

[math]\displaystyle N^{-1}(15)=\frac{4\cdot 15}{20-15}=\frac{60}{5}=12[/math]

Risposta:

Per produrre 1500 pezzi sono necessari 12 operatori.

Osservazioni:

💡 La funzione [math]N(o)[/math] ha un asintoto orizzontale a [math]y=20[/math]. Questo implica che la sua inversa [math]N^{-1}(T)[/math] avrà un asintoto verticale in [math]T=20[/math]. Ciò ha un senso gestionale: non è possibile produrre più di 2000 pezzi, indipendentemente dal numero di operatori. Il dominio dell’inversa è [math]0 \leq T < 20[/math].

Domanda di Riflessione:

Come si relaziona l’asintoto orizzontale della funzione di produzione con il dominio della sua inversa?

Esercizio 5 (Difficile) – Funzione a Tratti (Acquisto di Energia)

Testo:

Un’azienda paga l’energia elettrica con una tariffa a scaglioni. Sia [math]x[/math] l’energia consumata (in MWh). La spesa totale [math]S(x)[/math] in € è:

[math]S(x)=\begin{cases} 80x & \text{se } 0 \leq x \leq 10 \\ 800+70(x-10) & \text{se } x>10 \end{cases}[/math]

Determina la funzione inversa [math]S^{-1}(y)[/math], che dato l’importo della bolletta [math]y[/math] restituisce il consumo [math]x[/math].

Risoluzione:

Analisi della Funzione:

La funzione è definita a tratti e, in ciascun tratto, è lineare e quindi invertibile. Dobbiamo trovare l’inversa per ciascun tratto, prestando attenzione agli intervalli di definizione.

Inversa del Primo Tratto ([math]0 \leq x \leq 10[/math]):

1. Funzione: [math]y=80x[/math].
2. Inversa: [math]x=\frac{y}{80}[/math].
3. Determiniamo l’intervallo di [math]y[/math] per questo tratto. Quando [math]x=0[/math], [math]y=0[/math]. Quando [math]x=10[/math], [math]y=80\cdot 10=800[/math].

Quindi, per il primo tratto: [math]S^{-1}(y)=\frac{y}{80}[/math], per [math]0 \leq y \leq 800[/math].

Inversa del Secondo Tratto ([math]x>10[/math]):

1. Funzione: [math]y=800+70(x-10)[/math]. Semplifichiamola: [math]y=800+70x-700=70x+100[/math].
2. Inversa: [math]y=70x+100[/math] [math]\rightarrow[/math] [math]x=\frac{y-100}{70}[/math].
3. Determiniamo l’intervallo di [math]y[/math]. Quando [math]x[/math] è appena maggiore di 10, [math]y[/math] è appena maggiore di [math]70\cdot 10+100=800[/math].

Quindi, per il secondo tratto: [math]S^{-1}(y)=\frac{y-100}{70}[/math], per [math]y>800[/math].

Funzione Inversa Completa:

Mettendo insieme i pezzi:

[math]S^{-1}(y)=\begin{cases} \frac{y}{80} & \text{se } 0 \leq y \leq 800 \\ \frac{y-100}{70} & \text{se } y>800 \end{cases}[/math]

Risposta:

La funzione inversa è definita come sopra.

Osservazioni:

💡 Per una funzione a tratti, l’inversa si trova invertendo ciascun tratto e scambiando anche i rispettivi intervalli di definizione. Il punto di “giunzione” [math](x,y)=(10,800)[/math] della funzione originale diventa il punto [math](y,x)=(800,10)[/math] per la funzione inversa. La funzione è invertibile perché strettamente crescente in tutto il suo dominio.

Domanda di Riflessione:

Come possiamo verificare, anche graficamente, che questa funzione a tratti è effettivamente invertibile?

Esercizio 6 (Molto Difficile) – Funzione Esponenziale (Deprezzamento Macchinario)

Testo:

Il valore di un macchinario appena acquistato si deprezza esponenzialmente. Il suo valore [math]V(t)[/math] (in migliaia di €) dopo [math]t[/math] anni è [math]V(t)=200\cdot e^{-0.1t}[/math].

L’ufficio acquisti deve stimare da quanto tempo un macchinario usato è in funzione, sapendo che il suo valore attuale è di €100,000 (cioè 100 nella nostra unità di misura). Trova la funzione inversa [math]V^{-1}(v)[/math] e usala per risolvere il problema.

Risoluzione:

Analisi della Funzione:

[math]V(t)=200\cdot e^{-0.1t}[/math] è una funzione esponenziale decrescente. È iniettiva, quindi invertibile.

Trovare l’Inversa:

1. [math]v=200\cdot e^{-0.1t}[/math]
2. Isoliamo l’esponenziale: [math]\frac{v}{200}=e^{-0.1t}[/math].
3. Applichiamo il logaritmo naturale (ln) ad entrambi i membri. Il logaritmo è la funzione inversa dell’esponenziale:[math]\displaystyle \ln\left(\frac{v}{200}\right)=\ln\left(e^{-0.1t}\right)[/math]
4. Usiamo la proprietà [math]\ln(e^A)=A[/math]:[math]\displaystyle \ln\left(\frac{v}{200}\right)=-0.1t[/math]
5. Risolviamo per [math]t[/math]:[math]\begin{aligned} t&=\frac{-\ln\left(\frac{v}{200}\right)}{0.1} \\ t&=-10\cdot \ln\left(\frac{v}{200}\right) \end{aligned}[/math]
6. Usando le proprietà dei logaritmi, possiamo scriverla come: [math]t=10\cdot \ln\left(\frac{200}{v}\right)[/math].

La funzione inversa è [math]V^{-1}(v)=10\cdot \ln\left(\frac{200}{v}\right)[/math].

Applicazione:

Il valore attuale è [math]v=100[/math]. Calcoliamo:

[math]\displaystyle V^{-1}(100)=10\cdot \ln\left(\frac{200}{100}\right)=10\cdot \ln(2)[/math]

Sapendo che [math]\ln(2)\approx 0.693[/math], otteniamo [math]t\approx 10\cdot 0.693=6.93[/math].

Risposta:

Il macchinario è in funzione da circa 6.93 anni, cioè quasi 7 anni.

Osservazioni:

💡 L’inversa di una funzione esponenziale è una funzione logaritmica. Questo è un risultato fondamentale. Il dominio della funzione inversa [math]V^{-1}(v)[/math] è [math]0<v\leq 200[/math], che è il codominio della funzione originale [math]V(t)[/math]. Il logaritmo è definito solo per argomenti positivi, il che è coerente con il fatto che il valore di un macchinario non può essere negativo o zero.

Domanda di Riflessione:

Perché è stato necessario introdurre il logaritmo per trovare l’inversa? Quale proprietà del logaritmo abbiamo sfruttato?

Nella prossima pagina trovi le Risposte alle Domande di Riflessione ed un’analisi applicativa degli esercizi

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