Funzione Inversa: Come Usarla per la Pianificazione Aziendale (Esercizi Svolti)

Funzione originale:    x → [f] → y
Funzione inversa:     y → [f⁻¹] → x

Risposte alle Domande di Riflessione 

Di seguito sono riportate le spiegazioni dettagliate per le domande di riflessione poste al termine di ciascun esercizio, che consolidano i concetti matematici chiave applicati nei contesti di produzione e acquisti.

Domanda Esercizio 1: Funzioni Lineari

Quale proprietà algebrica della funzione lineare abbiamo sfruttato per essere sicuri di poter trovare l’inversa?

Abbiamo sfruttato la proprietà di iniettività (o “uno-a-uno”) garantita dal fatto che il coefficiente angolare [math]m=3[/math] è diverso da zero.

• Definizione di Iniettività: Una funzione è iniettiva se a input diversi corrispondono output diversi. Formalmente: se [math]x_1 \neq x_2[/math], allora [math]f(x_1) \neq f(x_2)[/math].
• Perché è Importante: Una funzione ammette inversa se e solo se è iniettiva. Se non lo fosse, per un dato valore dell’output [math]y[/math], potrebbero esserci più valori dell’input [math]x[/math] che lo producono, e quindi non potremmo definire un’unica funzione inversa.
• Verifica per le Funzioni Lineari: Per una funzione lineare [math]f(x)=mx+q[/math], se [math]m \neq 0[/math], la funzione è sempre strettamente crescente ([math]m>0[/math]) o decrescente ([math]m<0[/math]). Questo significa che è una retta non orizzontale, che supera il test della retta orizzontale: ogni retta orizzontale [math]y=k[/math] interseca il grafico al più in un punto.

In conclusione, la proprietà chiave è [math]m \neq 0[/math], che garantisce l’iniettività e quindi l’esistenza della funzione inversa.

Domanda Esercizio 2: Dominio e Realismo

Perché è stato importante specificare il dominio [math]0 \leq q \leq 400[/math] nel testo del problema?

Specificare il dominio è stato cruciale per due motivi principali, uno matematico e uno pratico:

• Motivo Pratico: Realismo dell’Scenario Aziendale Nel mondo reale, le promozioni “a scalare” hanno un limite. Il fornitore applica questo sconto solo fino a un ordine massimo ([math]q=400[/math]), oltre il quale potrebbe esserci un altro accordo commerciale o semplicemente non poter soddisfare la richiesta. Il dominio specificato modella proprio questa **condizione contrattuale realistica**.
• Motivo Matematico: Definizione del Codominio Limitando il dominio, limitiamo anche il codominio a valori economicamente significativi ([math]P \in [2,10][/math]). Senza la restrizione, per [math]q>500[/math] il prezzo diventerebbe negativo, il che è economicamente nonsensico. La limitazione del dominio assicura che l’inversa [math]P^{-1}(x)[/math] sia definita solo per prezzi plausibili e riflette la limitazione pratica.

Domanda Esercizio 3: Radici e Segno

Perché, nel passaggio di elevazione al quadrato, non abbiamo dovuto considerare la soluzione negativa della radice?

Non abbiamo dovuto considerare la soluzione negativa perché il codominio della funzione radice quadrata è per definizione l’insieme dei numeri reali non negativi ([math]\geq 0[/math]).

Analizzando il passaggio critico: [math]\frac{y-100}{25}=\sqrt{n}[/math].

• Il termine di destra, [math]\sqrt{n}[/math], rappresenta la radice quadrata principale ed è sempre non negativo per definizione.
• Affinché l’uguaglianza sia valida, il termine di sinistra, [math]\frac{y-100}{25}[/math], deve essere anch’esso non negativo. Nel nostro caso, il costo [math]y=175[/math] ha assicurato che l’espressione fosse positiva.

Di conseguenza, quando si eleva al quadrato, non si introducono soluzioni negative fittizie, perché l’equazione di partenza stessa impone che qualsiasi soluzione valida [math]n[/math] debba provenire solo da un valore [math]\sqrt{n}[/math] non negativo.

Domanda Esercizio 4: Asintoti e Dominio

Come si relaziona l’asintoto orizzontale della funzione di produzione con il dominio della sua inversa?

Esiste una relazione di dualità diretta tra gli asintoti della funzione originale e il dominio della sua inversa, dovuta allo scambio di ruoli tra [math]x[/math] e [math]y[/math].

• L’Asintoto Orizzontale della funzione originale [math]N(o)[/math] è [math]y=20[/math]. Questo definisce il limite superiore del Codominio di [math]N(o)[/math], ovvero [math]0 \leq N(o) < 20[/math].
• Per la definizione di funzione inversa, il Dominio di [math]N^{-1}(T)[/math] è il Codominio di [math]N(o)[/math].
• Di conseguenza, il dominio della funzione inversa [math]N^{-1}(T)[/math] è [math]0 \leq T < 20[/math].

In pratica, l’asintoto orizzontale [math]y=20[/math] della funzione di produzione si trasforma in un limite massimo per l’input del target [math]T[/math] per la funzione inversa. Non è possibile inserire un target di produzione [math]T \geq 20[/math] perché tale obiettivo è fisicamente irraggiungibile secondo il modello (e il suo grafico non esiste al di fuori di questo intervallo).

Domanda Esercizio 5: Funzioni a Tratti

Come possiamo verificare, anche graficamente, che questa funzione a tratti è effettivamente invertibile?

Possiamo verificarlo utilizzando il Test della Retta Orizzontale.

• Descrizione del Test: Se ogni retta orizzontale [math]y=k[/math] interseca il grafico della funzione al più in un punto, allora la funzione è iniettiva e quindi invertibile.
• Applicazione al Caso:
  1. Il grafico di [math]S(x)[/math] è composto da due segmenti di retta crescente.
  2. Il primo tratto ([math]0 \leq x \leq 10[/math]) ha pendenza [math]m=80[/math] e termina a [math](10, 800)[/math].
  3. Il secondo tratto ([math]x > 10[/math]) parte anch’esso da [math](10, 800)[/math] ma con una pendenza minore ([math]m=70[/math]).

Poiché il grafico è continuo (non ci sono salti) e strettamente crescente su tutto il suo dominio (la pendenza è sempre positiva, anche se cambia), qualsiasi retta orizzontale lo interseca in un unico punto. La funzione [math]S(x)[/math] supera il test ed è quindi invertibile.

Domanda Esercizio 6: Logaritmi ed Esponenziali

Perché è stato necessario introdurre il logaritmo per trovare l’inversa? Quale proprietà del logaritmo abbiamo sfruttato?

È stato necessario introdurre il logaritmo perché è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza (e, in particolare, dell’esponenziale). È l’unico strumento algebrico che ci permette di “estrarre” la variabile [math]t[/math] dall’esponente.

La proprietà fondamentale del logaritmo che abbiamo sfruttato è:

[math]\displaystyle \ln(e^C)=C[/math]

Nel passaggio risolutivo, applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri di [math]e^{-0.1t}=\frac{v}{200}[/math], abbiamo ottenuto:

[math]\displaystyle \ln(e^{-0.1t})=\ln\left(\frac{v}{200}\right)[/math]

Grazie a questa proprietà, il lato sinistro si è semplificato in [math]-0.1t[/math], permettendo di isolare la variabile temporale [math]t[/math] con semplici passaggi algebrici.

Commenti Applicativi agli Esercizi

Questa sezione aggiunge il contesto “business-oriented”, spiegando perché ogni esercizio è interessante dal punto di vista manageriale.

Esercizio 1 (Punto di Pareggio): Il Cruscotto del Controller

• Punto di Vista Applicativo: Questo è il “pane quotidiano” del Controller di Gestione o dell’Analista Finanziario. La funzione inversa qui non è un semplice calcolo, ma lo strumento per rispondere alla domanda fondamentale: “Dato il budget che ci hanno assegnato, qual è il nostro limite massimo di produzione?”. Permette di impostare soglie operative e di creare scenari “what-if” in pochi secondi.
•  La sua forza è la semplicità. Dimostra che anche un modello lineare basilare, se invertito, offre un potere di pianificazione enorme. È il primo passo per passare da una gestione “reattiva” (calcolo i costi a fine mese) a una “proattiva” (definisco le azioni in base ai miei obiettivi di costo).

Esercizio 2 (Sconto Quantità): L’Arma del Buyer

• Punto di Vista Applicativo: Questo è il terreno del Responsabile Acquisti (Buyer). La funzione inversa gli dice esattamente la quantità minima da ordinare per sbloccare un determinato “price point”. In una trattativa, non si limita a chiedere uno sconto, ma può dire: “Per arrivare al prezzo di 5€ a pezzo, i miei calcoli indicano che devo ordinare 250 unità. È corretto?”. Trasforma una negoziazione in un’analisi basata sui dati.
• L’importanza del dominio. Il fatto che la formula valga solo fino a 400 pezzi è un dettaglio cruciale. Modella la realtà dei contratti di fornitura, che hanno sempre dei limiti. L’inversa costringe a pensare entro questi vincoli, evitando errori di pianificazione.

Esercizio 3 (Ottimizzazione Lotto): Il Dilemma del Logistico

• Punto di Vista Applicativo: Qui siamo nell’ufficio del Responsabile della Logistica o del Supply Chain Planner. Il costo di stoccaggio non è lineare: più merce hai, più diventa complesso e costoso gestirla (in proporzione). La radice quadrata modella bene questo “rendimento decrescente”. L’inversa permette di stabilire la dimensione massima del lotto di produzione per non superare il budget giornaliero di magazzino.
•  L’uso di una funzione non lineare (la radice). Mostra che i principi dell’inversione si applicano anche a scenari più complessi e realistici, dove le relazioni tra le variabili non sono semplici rette.

Esercizio 4 (Rendimento Decrescente): La Sfida del Direttore di Produzione

• Punto di Vista Applicativo: Questo modello parla direttamente al Direttore di Produzione o al Plant Manager. L’asintoto orizzontale a y=20 è l’elemento più importante: rappresenta il limite fisico o strutturale dell’impianto. Significa che, anche aggiungendo infiniti operatori, la produzione non supererà mai le 2000 unità. L’inversa, con il suo asintoto verticale, rende questo limite invalicabile. Se un cliente chiede 2200 pezzi, la funzione inversa dimostra matematicamente che l’obiettivo è irraggiungibile con l’assetto attuale.
• Il concetto di asintoto come barriera strategica. È l’esercizio che meglio collega un concetto matematico astratto a una realtà fisica e gestionale invalicabile.

Esercizio 5 (Funzione a Tratti): La Bolletta dell’Energy Manager

• Punto di Vista Applicativo: Questo è un caso d’uso per l’Energy Manager, il Facility Manager o il CFO. Le tariffe a scaglioni sono onnipresenti (energia, spedizioni, servizi cloud, tasse). Saper invertire questa funzione significa poter calcolare, dato un certo importo in fattura, se c’è stato uno spreco o se si è vicini a superare uno scaglione, attivando così politiche di contenimento dei consumi.
• La gestione della discontinuità. Modella la realtà dei contratti commerciali, che raramente sono descritti da una singola formula. Invertire una funzione a tratti insegna a gestire la complessità e i “punti di rottura” dei modelli di costo.

Esercizio 6 (Deprezzamento): La Stima dell’Asset Manager

• Punto di Vista Applicativo: Questo è uno strumento per il Responsabile Amministrativo o l’Asset Manager. La funzione inversa permette di fare “archeologia industriale”: partendo dal valore di mercato di un macchinario usato, si può stimare la sua età e, di conseguenza, il suo ciclo di vita residuo. È fondamentale per decidere se acquistare un usato, pianificare la sostituzione di un bene o effettuare una valutazione patrimoniale.
• L’introduzione della coppia esponenziale/logaritmo. Mostra come l’inversione permetta di affrontare problemi legati al tempo e al decadimento, che sono centrali in finanza e nella gestione dei beni aziendali.