Guida pratica ai metodi iterativi: Bisezione e Newton-Raphson con esercizi applicati

Quando si studia matematica, si viene abituati all’idea che ogni problema abbia una soluzione pulita. Ti danno un’equazione, applichi una regola e trovi la tua x. Ma nella realtà ingegneristica, fisica o informatica, la stragrande maggioranza delle equazioni semplicemente non si lascia risolvere con carta, penna e algebra. Non esistono formule magiche per isolare l’incognita.

Come se ne esce?

Se l’algebra classica è un bisturi affilato che taglia con precisione chirurgica, l’analisi numerica è un radar: non ci dice esattamente dove si trova il bersaglio con una formula chiusa, ma restringe il campo di ricerca finché l’errore non diventa totalmente trascurabile. Ecco come funzionano i due “pilastri” per domare le funzioni irrisolvibili.

1. Il Metodo di Bisezione: La “Forza Bruta” Intelligente

Il metodo di bisezione è l’applicazione pratica del Teorema degli Zeri (o di Bolzano). È un metodo estremamente robusto: se la funzione è continua e hai trovato un intervallo in cui cambia segno, la soluzione deve essere lì in mezzo.

Come funziona: Prendi un intervallo [math][a, b][/math] dove [math]f(a)[/math] e [math]f(b)[/math] hanno segni opposti. Calcoli il punto medio [math]c = \frac{a+b}{2}[/math]. Se [math]f(c)[/math] ha lo stesso segno di [math]f(a)[/math], la radice è tra [math]c[/math] e [math]b[/math]. Altrimenti, è tra [math]a[/math] e [math]c[/math].

• Il vantaggio: Non fallisce mai. È “lento ma inesorabile”.
• Lo svantaggio: Richiede molti passaggi (iterazioni) per ottenere molte cifre decimali.

2. Il Metodo di Newton-Raphson: L’Inseguimento della Tangente

Mentre la bisezione ignora la “forma” della curva e guarda solo i segni, Newton usa la pendenza (la derivata) per capire in che direzione correre verso lo zero.

L’idea: Parti da un punto [math]x_0[/math] vicino alla soluzione. Tracci la retta tangente alla curva in quel punto. Il punto in cui la tangente tocca l’asse [math]x[/math] sarà la tua nuova approssimazione [math]x_1[/math].

La formula magica:

[math]\displaystyle x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/math]

• Il vantaggio: È incredibilmente veloce. Se sei vicino alla soluzione, il numero di cifre decimali corrette raddoppia quasi a ogni passaggio.
• Il rischio: Se scegli un punto di partenza sbagliato (ad esempio dove la derivata è quasi zero), il metodo può “impazzire” e spararti lontano dal bersaglio.

Quale scegliere?

Esercizio 1 (Difficoltà media) –Metodo di Bisezione – Galleggiamento di una sfera

Soluzione

1. Impostazione della funzione

Definiamo la funzione di cui cercare lo zero:

[math]f(x) = x^3 – 3x^2 + 2.4 \quad (\text{poiché } 4 \cdot 0.6 = 2.4)[/math]

La funzione è un polinomio, quindi continua su tutto [math]\mathbb{R}[/math].

2. Ricerca dell’intervallo di partenza

Fisicamente, la profondità [math]x[/math] può variare da [math]0[/math] (appena tocca l’acqua) a [math]2R = 2\,m[/math] (completamente immersa). Valutiamo [math]f[/math] agli estremi:

• [math]f(0) = 0 – 0 + 2.4 = 2.4 > 0[/math]
• [math]f(2) = 8 – 12 + 2.4 = -1.6 < 0[/math]

Poiché [math]f(0) \cdot f(2) < 0[/math] e la funzione è continua, per il Teorema degli Zeri esiste almeno una radice nell’intervallo [math](0, 2)[/math].

3. Applicazione del metodo di bisezione

Eseguiamo le iterazioni calcolando il punto medio [math]c = (a+b)/2[/math]. Ci fermiamo quando l’ampiezza dell’intervallo [math](b-a)[/math] diventa minore di [math]2 \times 10^{-3}[/math] per garantire l’errore richiesto.

Dopo 9 iterazioni, l’intervallo è [math][1.1328, 1.1367][/math]. Il punto medio è [math]c_9 \approx 1.1348[/math].

Radice approssimata: [math]x \approx 1.135 \, m[/math]

Risposta

Abbiamo scelto [math][0,2][/math] perché rappresenta l’intervallo fisicamente possibile per la profondità di immersione: [math]0[/math] indica la sfera appena a contatto con l’acqua, mentre [math]2[/math] indica la sfera completamente sommersa (essendo il diametro [math]2R[/math]).

Inoltre, [math]f(0)[/math] e [math]f(2)[/math] hanno segno opposto, il che soddisfa l’ipotesi necessaria per iniziare l’algoritmo. Un intervallo più stretto come [math][0.5, 1.5][/math] sarebbe stato comunque valido poiché:

• [math]f(0.5) = 0.5^3 – 3 \cdot 0.5^2 + 2.4 = 1.775 > 0[/math]
• [math]f(1.5) = -0.975 < 0[/math]

Tuttavia, scegliere [math][0, 2][/math] è più logico in fase di analisi iniziale perché non richiede una conoscenza preliminare di dove si trovi esattamente la radice, ma si affida solo ai limiti fisici del problema.

La proprietà fondamentale: Il Teorema degli Zeri

La proprietà che garantisce la convergenza è il Teorema degli Zeri (o di Bolzano):

“Se una funzione [math]f(x)[/math] è continua in un intervallo chiuso [math][a, b][/math] e assume segni opposti agli estremi ([math]f(a) \cdot f(b) < 0[/math]), allora esiste almeno un punto [math]c \in (a, b)[/math] tale che [math]f(c) = 0[/math].”

Il metodo di bisezione è infallibile perché restringe sistematicamente l’intervallo dimezzandolo ad ogni passo, ma mantenendo sempre attiva la proprietà del cambio di segno. Per quanto l’intervallo iniziale possa essere ampio, l’errore diminuisce secondo una progressione geometrica ([math]1/2^n[/math]), forzando la successione dei punti medi a convergere verso la radice desiderata.

Esercizio 2 (Difficoltà alta)–Metodo di Bisezione – Oscillatore smorzato e soglia di sensibilità

Soluzione

1. Formulazione del problema

Cerchiamo il valore [math]t[/math] tale che [math]e^{-t/2} \cos(2t) = 0.05[/math]. Definiamo la funzione:

[math]f(t) = e^{-t/2} \cos(2t) – 0.05[/math]

Dobbiamo trovare la più piccola radice positiva di [math]f(t) = 0[/math]. La funzione è continua in quanto composizione di funzioni elementari continue.

2. Analisi preliminare e scelta dell’intervallo

• Al tempo iniziale: [math]f(0) = e^{0} \cos(0) – 0.05 = 1 – 0.05 = 0.95 > 0[/math].
• Il coseno si annulla per la prima volta in [math]2t = \pi/2 \implies t = \pi/4 \approx 0.7854[/math].
• Valutiamo in quel punto: [math]f(\pi/4) = e^{-\pi/8} \cdot 0 – 0.05 = -0.05 < 0[/math].

Poiché [math]f(0)[/math] è positivo e [math]f(\pi/4)[/math] è negativo, per il Teorema degli Zeri esiste almeno una radice in [math][0, \pi/4][/math]. Essendo la funzione decrescente in questo primo tratto (l’esponenziale cala e il coseno scende da 1 a 0), la radice trovata sarà la prima in assoluto.

Intervallo iniziale: [math][a, b] = [0, 0.785398][/math]

3. Iterazioni di bisezione (Sintesi)

Eseguiamo i calcoli dimezzando l’intervallo finché [math](b-a)/2 < 10^{-4}[/math].

Proseguendo le iterazioni (ne servono circa 13-14 per la precisione richiesta), si ottiene:

Radice approssimata: [math]t \approx 0.7482 \, s[/math]

Risposta

Scegliendo l’intervallo [math][0,2][/math], avremmo ancora un cambio di segno poiché [math]f(0) = 0.95 > 0[/math] e [math]f(2) \approx -0.290 < 0[/math]. Il metodo di bisezione convergerebbe comunque a una radice, ma non avremmo la garanzia che sia la prima istanza cercata dal sensore.

In [math][0,2][/math], la funzione dell’oscillatore attraversa l’asse [math]x[/math] in due punti diversi. Poiché il metodo di bisezione si basa esclusivamente sul segno del punto medio, potrebbe essere “attirato” dalla seconda radice (quella vicino a [math]t \approx 1.6[/math]) a seconda del percorso dei calcoli, ignorando completamente la prima.

Comportamento con radici multiple

Il comportamento del metodo dipende strettamente dal numero di soluzioni presenti nell’intervallo scelto:

• Numero dispari di radici (es. 1 o 3): Il metodo ne troverà sicuramente una, ma non è possibile prevedere quale senza un’analisi più approfondita.
• Numero pari di radici (es. 2 o 4): Il metodo solitamente fallisce in partenza, perché agli estremi dell’intervallo la funzione avrebbe lo stesso segno (es. entrambi positivi), violando l’ipotesi del Teorema degli Zeri.

💡 Dietro le Quinte degli Esercizi: Perché sono interessanti?

🛑 Cecità Algoritmica: 3 Mosse per Fallire (e come evitarlo)

Affidarsi ciecamente a un algoritmo senza un’analisi preliminare è il modo più rapido per ottenere risultati fisicamente impossibili. Ecco i tre errori “da manuale” che potresti incontrare.

1. Il Paradosso del Segno (L’intervallo “muto”)

Il metodo di bisezione ha un unico, grande requisito: [math]f(a) \cdot f(b) < 0[/math].

• L’errore: Scegliere un intervallo dove la funzione tocca l’asse [math]x[/math] ma non lo attraversa (come in [math]f(x) = x^2[/math] vicino allo zero), oppure un intervallo che contiene un numero pari di radici.
• Il risultato: La bisezione non partirà nemmeno, o peggio, ti dirà che non esistono soluzioni quando invece ce ne sono due vicinissime.
• La soluzione: Fai sempre un rapido schizzo del grafico. Se i segni sono concordi, la bisezione è “cieca” rispetto a ciò che accade all’interno.

2. Il “Salto” della Radice (L’effetto tunnel)

Questo è il rischio maggiore nell’Esercizio 2 (l’oscillatore smorzato).

• L’errore: Usare un intervallo troppo ampio sperando che l’algoritmo “trovi qualcosa”.
• Il risultato: Se l’equazione descrive un fenomeno fisico temporale, a te serve la prima radice. Un intervallo troppo grande potrebbe far sì che il metodo scarti la prima metà dell’intervallo e converga su una radice successiva.
• La soluzione: Restringi il campo usando i limiti fisici. Se cerchi un tempo di reazione, non iniziare da un intervallo che copre anni di oscillazioni.

3. La Trappola della Tangente Orizzontale (Solo per Newton)

Sebbene approfondiremo Newton prossimamente, è bene conoscere il suo “tallone d’Achille”.

• L’errore: Scegliere un punto di partenza [math]x_0[/math] dove la pendenza della funzione è quasi nulla ([math]f'(x) \approx 0[/math]).
• Il risultato: La formula [math]x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/math] prevede una divisione per la derivata. Se questa è vicina a zero, il valore di [math]x_{n+1}[/math] schizzerà verso l’infinito. L’algoritmo “scivola” lontano dal bersaglio.
• La soluzione: Assicurati che nell’intorno della tua scelta iniziale la funzione sia decisamente crescente o decrescente.