Continuità e Discontinuità delle Funzioni: Guida Completa con Test e Soluzioni per la Maturità Scientifica

La continuità delle funzioni è uno degli argomenti fondamentali per la prova di matematica alla maturità scientifica. Capire quando e perché una funzione è continua (o presenta delle discontinuità) ti aiuta non solo a risolvere esercizi, ma anche a comprendere meglio i limiti, le derivate e le aree sotto il grafico. In questa guida ti offro una spiegazione chiara con esempi e una serie di test pratici e teorici per prepararti al meglio.

Teoria Essenziale

Una funzione [math]f(x)[/math] è continua in un punto [math]x=a[/math] se:

1. [math]f(a)[/math] esiste.
2. [math]\lim_{x \to a} f(x)[/math] esiste.
3. [math]\lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/math].

Se almeno una di queste condizioni fallisce, c’è una discontinuità.

Le discontinuità si classificano in:

• Eliminabili [math]\rightarrow[/math] si può “correggere” la funzione in quel punto.
• Di salto [math]\rightarrow[/math]il limite destro e sinistro esistono ma sono diversi.
• Essenziali (o infinite) [math]\rightarrow[/math] il limite non esiste perché tende a infinito.

Tipi di Discontinuità

Le discontinuità si verificano nei punti dove una funzione “si rompe”, cioè non rispetta la definizione di continuità. Vediamo più da vicino i tre principali tipi con esempi pratici.

1️⃣ Discontinuità Eliminabile

✅ Si ha quando il limite esiste (sinistro e destro coincidono) ma:

• [math]f(a)[/math] non è definita, oppure
• [math]f(a)[/math] è definita ma ha un valore diverso dal limite.

Perché si chiama eliminabile?
Perché possiamo “aggiustare” la funzione correggendo il valore in [math]a[/math] e rendendola continua.

Esempio:

[math]f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, x \neq 1.[/math]

Qui [math]f(x)=x+1[/math] per [math]x \neq 1[/math], ma [math]f(1)[/math] non è definita (divisione per zero).

Il limite per [math]x \to 1[/math] è:

[math]
\lim_{x \to 1} f(x) = 1 + 1 = 2.
[/math]

Basta definire [math]f(1)=2[/math] [math]\rightarrow[/math] discontinuità eliminata.

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2️⃣ Discontinuità di Salto (o Discontinuità Non Eliminabile)

✅ Si ha quando:

• I limiti sinistro e destro esistono ma sono diversi:

[math]
\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x).
[/math]

Caratteristica:
Il grafico “salta” da un valore all’altro [math]\rightarrow[/math] c’è un salto finito.

Esempio:

[math]f(x)= \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 2, & x \ge 0. \end{cases}[/math]

Calcoliamo i limiti:

[math]
\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1,
[/math]
[math]
\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2.
[/math]

Sono diversi [math]\rightarrow[/math] discontinuità di salto in [math]x=0[/math].

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 3️⃣ Discontinuità Essenziale (o Infinita)

✅ Si ha quando:

• Il limite non esiste perché tende a [math]+\infty[/math] o [math]-\infty[/math].

Caratteristica:
Il grafico “esplode” verso l’alto o il basso [math]\rightarrow[/math> asintoto verticale.

Esempio:

[math]f(x)=\frac{1}{x}.[/math]

In [math]x=0[/math]:

[math]
\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty,
[/math]
[math]
\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty.
[/math]

Non esiste un limite [math]\rightarrow[/math] discontinuità essenziale (infinita).

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Schema Riassuntivo

Tipo	Condizione	Esempio
Eliminabile	Limite esiste, [math]f(a)[/math] non esiste o [math]\neq[/math] limite	[math]\frac{x^2-1}{x-1}[/math]
Di salto	Limiti destro e sinistro esistono ma [math]\neq[/math]	Funzione a tratti [math]\begin{cases} 1, & x < 0 \\ 2, & x \ge 0 \end{cases}[/math]
Essenziale	Limite non esiste, tende a infinito	[math]\frac{1}{x}[/math] in [math]0[/math]

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 Test Pratici

Q1. Studia la continuità di [math]f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}[/math] in [math]x=1[/math].

✅ Soluzione:

Semplificando:

[math]
f(x) = \frac{(x – 1)(x + 1)}{x – 1} = x + 1, \quad x \neq 1.
[/math]

Ma [math]f(1)[/math] non è definito, quindi:

Limite per [math]x \to 1[/math]: [math]2[/math].

Si può estendere [math]f(1)=2[/math] [math]\rightarrow[/math] discontinuità eliminabile.

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Q2. Studia la continuità di [math]f(x)=\frac{1}{x}[/math] in [math]x=0[/math].

✅ Soluzione:

[math]f(0)[/math] non è definito. Il limite destro e sinistro tendono a [math]+\infty[/math] e [math]-\infty[/math].

[math]\rightarrow[/math] Discontinuità essenziale (infinita).

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Q3. Studia [math]f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ 3 & x = 1 \\ 2x – 1 & x > 1 \end{cases}[/math] in [math]x=1[/math].

✅ Soluzione:

[math]
\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2(1) – 1 = 1.
[/math]

Ma [math]f(1)=3[/math].

[math]\rightarrow[/math] Discontinuità eliminabile.

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Q4. Studia [math]f(x)=\tan(x)[/math] in [math]x=\frac{\pi}{2}[/math].

✅ Soluzione:

[math]
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \tan(x) = -\infty.
[/math]

[math]\rightarrow[/math] Discontinuità infinita.

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Q5. Studia [math]f(x)=\frac{|x|}{x}[/math] in [math]x=0[/math].

✅ Soluzione:

[math]
\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1, \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1.
[/math]

[math]\rightarrow[/math] Discontinuità di salto.

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Q6. Trova i punti di discontinuità di [math]f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}[/math].

✅ Soluzione:

Semplificando:

[math]
\frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} = x + 2, \quad x \neq 2.
[/math]

Il limite per [math]x \to 2[/math] è [math]4[/math], ma [math]f(2)[/math] non è definito.

[math]\rightarrow[/math] Discontinuità eliminabile.

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Q7. Studia [math]f(x) = \begin{cases} \sin(x) & x \neq \pi \\ 2 & x = \pi \end{cases}[/math].

✅ Soluzione:

[math]
\lim_{x \to \pi} \sin(x) = 0, \quad f(\pi) = 2.
[/math]

[math]\rightarrow[/math] Discontinuità eliminabile.

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Q8. Studia [math]f(x)=\lfloor x \rfloor[/math] (parte intera) in [math]x=2[/math].

✅ Soluzione:

[math]
\lim_{x \to 2^-} \lfloor x \rfloor = 1, \quad \lim_{x \to 2^+} \lfloor x \rfloor = 2.
[/math]

[math]\rightarrow[/math] Discontinuità di salto.

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Domande Teoriche

1️⃣ Quali condizioni devono essere soddisfatte perché una funzione sia continua in un punto?
✅ Esistenza del valore, esistenza del limite, uguaglianza tra limite e valore.

2️⃣ Cos’è una discontinuità eliminabile?
✅ Un punto dove la funzione non è definita o ha un valore diverso dal limite, ma può essere “aggiustata”.

3️⃣ Come si riconosce una discontinuità di salto?
✅ Quando i limiti destro e sinistro esistono ma non coincidono.

4️⃣ Quali funzioni elementari sono sempre continue nel loro dominio?
✅ Polinomiali, esponenziali, logaritmi, goniometriche (eccetto nei punti dove non sono definite).

5️⃣ Perché la continuità è importante nello studio delle derivate?
✅ Perché una funzione derivabile deve essere continua (anche se il contrario non è sempre vero).

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Scheda Riepilogativa: Continuità e Discontinuità

🔶 Definizione di Continuità

Una funzione [math]f(x)[/math] è continua in [math]x=a[/math] se sono soddisfatte TUTTE e tre le condizioni:

1. [math]f(a)[/math] esiste.
2. [math]\lim_{x \to a} f(x)[/math] esiste.
3. [math]\lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/math].

Se almeno una manca [math]\rightarrow[/math] discontinuità.

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🔶 Tipi di Discontinuità

✅ Eliminabile

• Il limite esiste, ma [math]f(a)[/math] è non definito o diverso.
• Si può “correggere” assegnando [math]f(a)=\lim_{x \to a} f(x)[/math].

✅ Di salto

• I limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi:
• [math]\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)[/math].

✅ Infinita (essenziale)

• Il limite non esiste perché tende a [math]+\infty[/math] o [math]-\infty[/math].

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🔶 Funzioni Sempre Continue (nel loro dominio)

• ✅ Polinomiali [math]P(x)[/math].
• ✅ Razionali [math]\frac{P(x)}{Q(x)}[/math] (escluse le divisioni per zero).
• ✅ Radici [math]\sqrt[n]{x}[/math] (per [math]n[/math] pari: solo [math]x \geq 0[/math]).
• ✅ Esponenziali [math]a^x[/math], Logaritmi [math]\log_a(x)[/math] (con [math]x>0[/math]).
• ✅ Funzioni goniometriche standard (eccetto nei punti dove non sono definite, es. [math]\tan(x)[/math] in [math]\frac{\pi}{2} + k\pi[/math]).

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🔶 Come Studiare la Continuità

• ✅ 1. Calcola [math]f(a)[/math].
• ✅ 2. Calcola [math]\lim_{x \to a^-} f(x)[/math] e [math]\lim_{x \to a^+} f(x)[/math].
• ✅ 3. Confronta:
  • Se limiti uguali [math]\rightarrow \lim_{x \to a} f(x)[/math] esiste.
  • Se uguali a [math]f(a)[/math] [math]\rightarrow[/math] continua.
  • Se diversi [math]\rightarrow[/math] salto.
  • Se tendono a infinito [math]\rightarrow[/math] infinita.
  • Se limite e funzione si possono allineare [math]\rightarrow[/math] eliminabile.

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🔶 Suggerimenti Pratici

• Semplifica le espressioni (es. fattorizza o razionalizza).
• Attenzione ai punti critici (zeri del denominatore, radici pari, logaritmi, angoli particolari).
•  Per i pezzi definiti a tratti, confronta sempre i limiti destro e sinistro.

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🔶 Relazione con Derivabilità

• ✅ Se una funzione è derivabile in [math]a[/math], allora è continua in [math]a[/math].
• ❌ Se è continua, non è detto che sia derivabile (es. [math]|x|[/math] in [math]x=0[/math]).

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