Asintoti di funzione. Esercizi svolti

Esercizio 1

Determinare gli asintoti della funzione

Soluzione

La funzione f(x) = x log x è definita per x > 0.

Calcoliamo i limiti agli estremi dell’intervallo (0, +∞);

In base alla regola di L’Hopital abbiamo

Essendo il limite finito, la retta di equazione x = 0 non è un asintoto verticale.

La funzione non ha asintoti verticali, né orizzontali, né obliqui, dato che

Esercizio 2

Determinare gli asintoti della funzione

Soluzione

La funzione è definita negli intervalli (−∞, 0) e (0, +∞).

Risulta:

Perciò la retta di equazione y = 1 è un asintoto orizzontale per f(x), mentre l’asse y è un asintoto verticale per x → 0⁺ .

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Esercizio 3

Determinare gli asintoti della funzione

Soluzione

La funzione è definita su R e non ha asintoti verticali, né orizzontali.

Risulta inoltre

La retta di equazione y = x è quindi asintoto obliquo per x → +∞.

Nel calcolo dell’asintoto per x → −∞, è opportuno ricordare che √x² = x solo se x ≥ 0, mentre √x² = −x se x < 0;
cioè:

√x² = |x| , ∀ x ∈ R.

Si ottiene:

Quindi la retta di equazione y = −x è un asintoto obliquo per x → −∞.

Il grafico della funzione f(x) = √1 + x² è rappresentato nella figura qui sotto.

 

Si osservi che f(x) è crescente per x ≥ 0 ed è decrescente per x ≤ 0 (e quindi il punto x = 0 è di minimo).

Esercizio 4

Determinare gli asintoti della funzione

Soluzione

E’ definita per x≠ 0 e risulta:

Perciò f(x) ammette come unico asintoto la retta di equazione y = 0 (asse x).

Il grafico di f(x) è rappresentato in figura qui sotto.

Si noti che la funzione f(x) interseca infinite volte il suo asintoto (precisamente per x = kπ, con k ∈ Z).

Per comprendere più facilmente il disegno in figura , si può osservare che f(x) è una funzione pari (cioè f(x) = f(−x), per ogni x ∈ R) che verifica le limitazioni:

dato che −1 ≤ sen x ≤ 1.

Geometricamente ciò corrisponde al fatto che il grafico della funzione f(x) è, per x > 0, al di sopra dell’iperbole di equazione y = −1/x, ed è al di sotto dell’iperbole di equazione y = 1/x (il grafico della funzione f(x) tocca l’iperbole di equazione y = 1/x, per x > 0, nei punti π/2 + 2kπ, con k = 0, 1, 2, . . .).

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