Studio di funzione esponenziale svolto passo per passo

Esercizio

Effettuare uno studio qualitativo della seguente funzione

con particolare riferimento ai seguenti aspetti:
a) trova il dominio di f
b) indica quali sono gli intervalli in cui f(x) risulta positiva e quelli in cui risulta negativa
c) determina le eventuali intersezioni con gli assi
d) studia il comportamento della funzione agli estremi del suo dominio, determinando eventuali asintoti
e) calcola la derivata prima e indica quali sono gli intervalli in cui la funzione è crescente e quelli in cui è decrescente, determinando eventuali massimi o minimi relativi o flessi a tangente orizzontale
f) laddove richiesto, calcola la derivata seconda e indica quali sono gli intervalli in cui la funzione rivolge la concavità verso l’alto e quelli in cui la concavità è verso il basso, determinando eventuali flessi
g) disegna un grafico approssimativo in un opportuno sistema di riferimento.
Non è richiesto lo studio della derivata seconda.

Soluzione

Dominio

La funzione risulta essere il prodotto di due funzioni:

Quest’ultima funzione è definita per qualsiasi valore di x, in quanto il numero e^{x +1}  è sempre strettamente positivo (quindi non può mai essere 0). Invece ha senso considerare la radice quadrata di x + 1 soltanto quando tale quantità sotto radice quadrata è maggiore o uguale a 0.

Pertanto dobbiamo imporre che

x + 1 ≥ 0.

Questa disequazione è soddisfatta quando x ≥ -1.

Pertanto il dominio è l’insieme D =[0,+∞).

Positività/negatività

Per ciascun x nel dominio, il numero f(x) è il risultato del prodotto di √x +1 (numero sempre ≥ 0, essendo una radice quadrata) e di

(numero strettamente positivo, perché la funzione esponenziale è sempre strettamente positiva).

Pertanto f(x) ≥0 per tutti i punti x del suo dominio.

Intersezione con gli assi

Il grafico della funzione interseca l’asse x ( y = 0) per quei valori della x per i quali

√(x +1) ^. e^-(x+1) = 0

La precedente equazione è soddisfatta se √(x +1)= 0 oppure se e^-(x+1) =0.

Ma e^-(x+1) non può mai essere 0, quindi l’unica possibilità è che √(x +1)= 0.

Quest’ultima equazione è soddisfatta se e solo se la quantità sotto radice x + 1 = 0, cioè x = -1.
Otteniamo dunque il punto di intersezione A(-1,0).
Le eventuali intersezioni con l’asse y (x = 0) si trovano risolvendo il sistema:

Cominciamo a rappresentare sul grafico le informazioni finora a nostra disposizione e cioè che la funzione esiste solo per x ≥ -1 e che è non è mai negativa (cioè il suo grafico non può mai stare sotto l’asse x); inoltre rappresentiamo i due punti A e B per i quali passerà il grafico.

Comportamento agli estremi del dominio. Asintoti

Poiché il punto x = 0 è incluso nel dominio, dobbiamo solamente studiare il comportamento della funzione per x → +∞.

Si ha che

una forma indeterminata.

Osserviamo comunque che poiché quando x → +∞ la funzione esponenziale tende a +∞ con un ordine maggiore rispetto alla funzione radice quadrata, il risultato del limite è 0.

La gerarchia degli infiniti

A tale conclusione si poteva anche giungere applicando la regola di de l’Hôpital:

Teorema di de L’Hopital

La retta y = 0 è quindi un asintoto orizzontale.

Riportiamo questo dato nel nostro schizzo di grafico provvisorio:

Derivata prima

Pertanto, essendo i fattori e^{−(x +1 )}  e e 2√ x +1 sempre positivi, si ha che f ′(x) > 0 se e solo se

–1 – 2x > 0
cioè
x < − 1/2.

Pertanto la funzione risulta crescente nell’intervallo [-1,-1/2] e decrescente nell’intervall0 [1/2,+∝ ).

Nel punto di ascissa x = -1/2 vi è un massimo relativo.

L’ordinata corrispondente è data da

Andiamo a rappresentarlo:

 

A questo punto tenendo conto della crescenza / decrescenza della funzione, possiamo passare ad

un grafico approssimativo:

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