Maturità 2025: Soluzione Completa Esercizio 1 Funzione a Tratti (Continuità e Derivabilità)

Benvenuti a questa analisi approfondita del primo esercizio proposto all’Esame di Stato 2025, sezione scientifica (o prova di matematica con quesiti analoghi). Questo problema, incentrato sulla studio di una funzione a tratti, rappresenta un classico punto di partenza per valutare le competenze fondamentali degli studenti in Analisi Matematica.

Peculiarità dell’Esercizio e Punti Chiave per lo Studente:

L’esercizio si presenta come un ottimo test delle capacità di analisi di funzioni, richiedendo non solo l’applicazione meccanica di regole di derivazione e calcolo di limiti, ma una comprensione profonda dei concetti di continuità e derivabilità.

Lo studente avrebbe dovuto porre particolare attenzione ai seguenti punti:

1. Definizione a Tratti: La funzione è definita in due modi diversi su intervalli distinti. Questo significa che l’analisi va condotta separatamente per ciascun “ramo” della funzione e, crucialmente, nel punto di “raccordo” tra i due rami, che in questo caso è [math]x=0[/math].
2. Continuità nel Punto di Raccordo:
   • È indispensabile verificare che il limite della funzione quando ci si avvicina al punto di raccordo da sinistra (usando la prima espressione) sia uguale al limite quando ci si avvicina da destra (usando la seconda espressione).
   • Inoltre, questo valore deve coincidere con il valore della funzione nel punto stesso ([math]f(0)[/math]), che in questo caso è definito dal primo tratto. La mancata verifica di una di queste condizioni implica la discontinuità.
3. Derivabilità nel Punto di Raccordo:
   • Questo è spesso il punto più delicato. Anche se una funzione è continua in un punto, potrebbe non essere derivabile. La derivabilità in un punto di raccordo richiede che le derivate calcolate da sinistra e da destra (i “limiti dei rapporti incrementali”) siano uguali.
   • In pratica, si calcola la derivata di ciascun tratto e si valuta il limite di queste derivate man mano che ci si avvicina al punto di raccordo. Un valore diverso indica un “angolo” o una cuspide nel grafico, e quindi la non derivabilità.
4. Analisi della Funzione Tangente:
   • Nel secondo tratto ([math]1 + \tan(x + \frac{3}{4}\pi)[/math]), è cruciale ricordare il dominio della funzione tangente. Bisogna verificare che l’argomento della tangente ([math]x + \frac{3}{4}\pi[/math]) non assuma valori che la rendano indefinita (cioè [math]\frac{\pi}{2} + k\pi[/math]) all’interno dell’intervallo [math](0, 2][/math]. Una svista qui porterebbe a conclusioni errate sulla continuità del secondo tratto.
   • La derivata della tangente ([math]\sec^2(u)[/math]) e l’applicazione della regola della catena sono passaggi chiave.
5. Coerenza e Precisione nei Calcoli: Ogni passaggio, dal calcolo dei limiti alla valutazione delle funzioni trigonometriche, deve essere eseguito con attenzione per evitare errori a cascata.
6. Interpretazione Grafica: L’esercizio chiede esplicitamente il grafico. Questo implica che lo studente dovrebbe essere in grado di visualizzare il comportamento della funzione in ogni tratto, identificare i punti chiave (vertici, intercette, punti di transizione) e rappresentare correttamente la pendenza (o la sua assenza) nel punto di raccordo.

L’inclusione del codice Python per la visualizzazione del grafico, sebbene non richiesto all’esame di maturità, è un eccellente strumento didattico che permette di verificare visivamente i risultati analitici e approfondire la comprensione del comportamento della funzione. Dimostra come la teoria matematica possa essere applicata e validata con strumenti computazionali moderni.

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La funzione data è:

[math]\displaystyle f(x) = \begin{cases} -4x^2 – 8x, & -1 \le x \le 0 \\ 1 + \tan\left(x + \frac{3}{4}\pi\right), & 0 < x \le 2 \end{cases}[/math]

E poi, di disegnare il suo grafico nell’intervallo [math][-1,2][/math].

Suddividiamo questo in passaggi:

Passaggio 1: Analisi della Continuità

Una funzione è continua su un intervallo se è continua in ogni punto di quell’intervallo. Dobbiamo verificare la continuità nei sotto-intervalli e nel punto di “transizione”, [math]x=0[/math].

Continuità per [math]-1 \le x < 0[/math]:

Per questo intervallo, [math]f(x)=-4x^2 – 8x[/math]. Questa è una funzione polinomiale, e le funzioni polinomiali sono continue ovunque. Pertanto, è continua in questo intervallo.

Continuità per [math]0 < x \le 2[/math]:

La funzione [math]f(x) = 1 + \tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)[/math] è continua a meno che l’argomento della tangente non sia della forma [math]\frac{\pi}{2} + k\pi[/math].

L’argomento [math]u = x + \frac{3}{4}\pi[/math] varia da [math]\frac{3}{4}\pi \approx 2.356[/math] (quando [math]x \to 0^+[/math]) a [math]2 + \frac{3}{4}\pi \approx 4.356[/math] (quando [math]x = 2[/math]).

Quindi, stiamo esaminando l’intervallo per [math]u[/math]: [math]\left(\frac{3}{4}\pi,2+\frac{3}{4}\pi\right)[/math].

Questo è approssimativamente [math](2.356,4.356)[/math] radianti.

Verifichiamo i valori di [math]u=\frac{\pi}{2}+k\pi[/math]:

• Per [math]k=0[/math], [math]u=\frac{\pi}{2}\approx1.57[/math] (non nel nostro intervallo).
• Per [math]k=1[/math], [math]u=\frac{3}{2}\pi\approx4.71[/math] (non nel nostro intervallo).
• Per [math]k=-1[/math], [math]u=-\frac{\pi}{2}\approx-1.57[/math] (non nel nostro intervallo).

Sembra che [math]\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)[/math] sia continua per [math]0 < x \le 2[/math].

Continuità in [math]x=0[/math]:

Affinché la funzione sia continua in [math]x=0[/math], il limite sinistro, il limite destro e il valore della funzione in [math]x=0[/math] devono essere tutti uguali.

• Limite sinistro:
  [math]\displaystyle \lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^-} (-4x^2 – 8x)=-4(0)^2 – 8(0)=0.[/math]
• Limite destro:
  [math]\displaystyle \lim_{x\to0^+} f(x)=\lim_{x\to0^+} \left(1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\right)=1+\tan\left(0+\frac{3}{4}\pi\right)=1+\tan\left(\frac{3}{4}\pi\right).[/math]
  Dato che [math]\tan\left(\frac{3}{4}\pi\right)=-1[/math], [math]\displaystyle \lim_{x\to0^+} f(x)=1+(-1)=0.[/math]
• Valore della funzione in [math]x=0[/math]:
  Dato che [math]x=0[/math] è incluso nella prima definizione, [math]f(0)=-4(0)^2 – 8(0)=0.[/math]

Poiché [math]\displaystyle \lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^+} f(x)=f(0)=0[/math], la funzione è continua in [math]x=0[/math].

Conclusione sulla Continuità:

La funzione [math]f(x)[/math] è **continua sull’intero intervallo [math][-1,2][/math]**.

Passaggio 2: Analisi della Derivabilità

Una funzione è derivabile su un intervallo se è derivabile in ogni punto di quell’intervallo. Dobbiamo verificare la derivabilità negli intervalli aperti e nel punto di “transizione”, [math]x=0[/math].

Derivabilità per [math]-1 < x < 0[/math]:

Per questo intervallo, [math]f(x)=-4x^2 – 8x.[/math][math]\displaystyle f'(x)=\frac{d}{dx}(-4x^2 – 8x)=-8x-8.[/math]

Questa derivata esiste per tutti gli [math]x[/math], quindi [math]f(x)[/math] è derivabile per [math]-1 < x < 0[/math].

Derivabilità per [math]0 < x < 2[/math]:

Per questo intervallo, [math]f(x)=1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right).[/math]

Sappiamo che [math]\displaystyle \frac{d}{du}(\tan(u))=\sec^2(u).[/math]

Usando la regola della catena, per [math]u=x+\frac{3}{4}\pi[/math], [math]\displaystyle \frac{du}{dx}=1.[/math]

Quindi, [math]\displaystyle f'(x)=\frac{d}{dx}\left(1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\right)=\sec^2\left(x+\frac{3}{4}\pi\right).[/math]

Questa derivata esiste per tutti gli [math]x[/math] in [math]0 < x < 2[/math] perché, come mostrato nell’analisi della continuità, [math]x+\frac{3}{4}\pi[/math] non assume valori che rendono [math]\sec^2(u)[/math] indefinita (cioè, [math]u \ne \frac{\pi}{2}+k\pi[/math]).

Derivabilità in [math]x=0[/math]:

Affinché la funzione sia derivabile in [math]x=0[/math], la derivata sinistra e la derivata destra devono essere uguali.

• Derivata sinistra: [math]\displaystyle f’_{-}(0)=\lim_{h\to0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}.[/math]
  Dato che [math]f(0)=0[/math], [math]\displaystyle f’_{-}(0)=\lim_{h\to0^-} \frac{(-4h^2 – 8h)-0}{h}=\lim_{h\to0^-} \frac{h(-4h-8)}{h}=\lim_{h\to0^-} (-4h-8)=-8.[/math]
  In alternativa, usando la derivata del primo pezzo: [math]f'(x)=-8x-8.[/math][math]f’_{-}(0)=-8(0)-8=-8.[/math]
• Derivata destra: [math]\displaystyle f’_{+}(0)=\lim_{h\to0^+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}.[/math]
  Dato che [math]f(0)=0[/math], [math]\displaystyle f’_{+}(0)=\lim_{h\to0^+} \frac{\left(1+\tan\left(h+\frac{3}{4}\pi\right)\right)-0}{h}=\lim_{h\to0^+} \frac{1+\tan\left(h+\frac{3}{4}\pi\right)}{h}.[/math]
  Questa è della forma [math]\frac{0}{0}[/math] quando [math]h\to0^+[/math] (dato che [math]1+\tan(\frac{3}{4}\pi)=1-1=0[/math]). Possiamo usare la Regola di L’Hôpital o riconoscerla come la definizione della derivata.
  Usando la derivata del secondo pezzo: [math]f'(x)=\sec^2\left(x+\frac{3}{4}\pi\right).[/math][math]f’_{+}(0)=\sec^2\left(0+\frac{3}{4}\pi\right)=\sec^2\left(\frac{3}{4}\pi\right).[/math]
  Dato che [math]\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/math], allora [math]\sec\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\frac{1}{\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)}=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.[/math]
  Quindi, [math]\sec^2\left(\frac{3}{4}\pi\right)=(-\sqrt{2})^2=2.[/math]

Poiché [math]f’_{-}(0)=-8[/math] e [math]f’_{+}(0)=2[/math], e non sono uguali, la funzione non è derivabile in [math]x=0[/math].

Conclusione sulla Derivabilità:

La funzione [math]f(x)[/math] è **derivabile su [math](-1,0)\cup(0,2)[/math], ma non in [math]x=0[/math]**.

Passaggio 3: Tracciare il Grafico

Analizziamo ciascun pezzo della funzione e tracciamo alcuni punti chiave.

Pezzo 1: [math]f(x)=-4x^2 – 8x[/math] per [math]-1 \le x \le 0[/math]

Questa è una parabola che si apre verso il basso (a causa del termine [math]-4x^2[/math]).

• Per trovare il vertice, [math]\displaystyle x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2(-4)}=-\frac{-8}{-8}=-1.[/math][math]y_v=f(-1)=-4(-1)^2 – 8(-1)=-4(1)+8=-4+8=4.[/math]
  Quindi, il vertice è in [math](-1,4)[/math].
• Troviamo le intercette:
  • Se [math]x=0[/math], [math]f(0)=-4(0)^2 – 8(0)=0.[/math] Quindi, passa per [math](0,0)[/math].
  • Se [math]f(x)=0[/math], [math]-4x^2 – 8x=0 \implies -4x(x+2)=0.[/math] Quindi, [math]x=0[/math] o [math]x=-2[/math]. L’intercetta [math]x=-2[/math] è al di fuori del nostro intervallo.

Punti chiave per questo pezzo:

• [math](-1,4)[/math] (vertice)
• [math](-0.5,3)[/math]
• [math](0,0)[/math]

Pezzo 2: [math]f(x)=1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)[/math] per [math]0 < x \le 2[/math]

Sappiamo che [math]f(x)[/math] si avvicina a [math]0[/math] quando [math]x\to0^+.[/math] Valutiamo alcuni punti in questo intervallo.

• In [math]x=0[/math] (avvicinandosi da destra): [math]f(0^+)=1+\tan(\frac{3}{4}\pi)=1-1=0.[/math] Questo conferma la continuità in [math]x=0[/math].
• Consideriamo l’argomento della funzione tangente: [math]u=x+\frac{3}{4}\pi.[/math]
  • Quando [math]x=0[/math], [math]u=\frac{3}{4}\pi.[/math]
  • Quando [math]x=2[/math], [math]u=2+\frac{3}{4}\pi \approx 4.356[/math] radianti.

Dobbiamo fare attenzione al comportamento della funzione tangente. La funzione tangente va all’infinito in [math]\frac{\pi}{2}+k\pi.[/math] Abbiamo trovato prima che non esistono tali valori per [math]u[/math] in [math](0,2].[/math]

Troviamo alcuni valori chiave di [math]x[/math]:

• Se [math]x+\frac{3}{4}\pi=\pi[/math] (cioè [math]x=\frac{1}{4}\pi[/math]), allora [math]f(x)=1+\tan(\pi)=1+0=1.[/math][math]x=\frac{\pi}{4}\approx0.785.[/math] Quindi, punto [math](\approx0.785,1).[/math]
• Se [math]x+\frac{3}{4}\pi=\frac{5}{4}\pi[/math] (cioè [math]x=\frac{2}{4}\pi=\frac{1}{2}\pi[/math]), allora [math]f(x)=1+\tan(\frac{5}{4}\pi)=1+1=2.[/math][math]x=\frac{\pi}{2}\approx1.57.[/math] Quindi, punto [math](\approx1.57,2).[/math]
• In [math]x=2[/math]: [math]f(2)=1+\tan\left(2+\frac{3}{4}\pi\right).[/math][math]2+\frac{3}{4}\pi\approx4.356[/math] radianti.
  Questo valore è nel 4° quadrante (dato che [math]\pi\approx3.14[/math], e [math]1.5\pi\approx4.71[/math]).
  Usando una calcolatrice, [math]\tan(4.356 \text{ rad})\approx1.83.[/math]
  Quindi, [math]f(2)\approx1+1.83=2.83.[/math]
  Punto [math](\approx2,2.83).[/math]

Ricapitoliamo i punti per il tracciamento:

• Per [math][-1,0][/math] (parabola):
  • [math](-1,4)[/math] (vertice)
  • [math](-0.5,3)[/math]
  • [math](0,0)[/math]
• Per [math](0,2][/math] (funzione tangente traslata e scalata):
  • Si avvicina a [math](0,0)[/math] da destra
  • [math]x=0.2: f(0.2)\approx0.16[/math]
  • [math]x=0.5: f(0.5)\approx0.72[/math]
  • [math](\frac{\pi}{4},1)\approx(0.785,1)[/math]
  • [math]x=1: f(1)\approx1.22[/math]
  • [math](\frac{\pi}{2},2)\approx(1.57,2)[/math]
  • [math](2,1+\tan(2+\frac{3}{4}\pi))\approx(2,2.83)[/math]

Schizzo finale del grafico:

La prima parte del grafico (per [math]x \in [-1,0][/math]) è una parabola che si apre verso il basso, che parte da [math](-1,4)[/math] e termina in [math](0,0)[/math].

La seconda parte del grafico (per [math]x \in (0,2][/math]) inizia da [math](0,0)[/math] e aumenta all’aumentare di [math]x[/math], poiché [math]\sec^2(u)[/math] è sempre positivo, il che significa che [math]f'(x) > 0[/math] per [math]0 < x < 2[/math]. La pendenza cambia bruscamente in [math]x=0[/math], mostrando visivamente la non derivabilità.

Codice Python per Tracciare il Grafico

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definizione della funzione f(x)
def f(x):
    if -1 <= x <= 0:
        return -4*x**2 - 8*x
    elif 0 < x <= 2:
        return 1 + np.tan(x + 3*np.pi/4)
    else:
        return np.nan # Restituisce NaN al di fuori dell'intervallo specificato

# Creazione dei punti per il grafico
# Per la prima parte (polinomiale), assicuriamo una buona risoluzione
x1 = np.linspace(-1, 0, 400)
y1 = np.array([f(val) for val in x1])

# Per la seconda parte (tangente), assicuriamo una buona risoluzione
# Evitiamo di includere 0 esattamente per la parte della tangente, ma usiamo un punto molto vicino
x2 = np.linspace(0.001, 2, 400) # Inizia leggermente dopo 0
y2 = np.array([f(val) for val in x2])

# Inizializzazione del plot
plt.figure(figsize=(10, 6))

# Tracciare il primo pezzo del grafico (parabola)
plt.plot(x1, y1, label=r'$-4x^2 - 8x$ per $-1 \le x \le 0$', color='blue')

# Tracciare il secondo pezzo del grafico (tangente)
plt.plot(x2, y2, label=r'$1 + \tan(x + \frac{3}{4}\pi)$ per $0 < x \le 2$', color='red')

# Aggiungere i punti chiave
plt.scatter([-1], [4], color='green', zorder=5, label='Vertice/Punto finale (-1,4)')
plt.scatter([0], [0], color='purple', zorder=5, label='Punto di transizione (0,0)')

# Aggiungere punti intermedi per la parte tangente per chiarezza
# Ricorda: pi/4 approx 0.785, pi/2 approx 1.57
plt.scatter([np.pi/4], [1], color='red', marker='o', s=50, zorder=5) # Punto (pi/4, 1)
plt.scatter([np.pi/2], [2], color='red', marker='o', s=50, zorder=5) # Punto (pi/2, 2)
plt.scatter([2], [f(2)], color='red', marker='o', s=50, zorder=5) # Punto finale (2, f(2))

# Aggiungere una freccia o annotazione per la non derivabilità
plt.annotate('Non derivabile in x=0', xy=(0, 0), xytext=(0.5, 0.5),
             textcoords='axes fraction', arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.05),
             horizontalalignment='right', verticalalignment='top', fontsize=10, color='black')

# Impostazioni del grafico
plt.title(r'Grafico della funzione $f(x)$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.grid(True)
plt.axvline(0, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.8) # Linea verticale in x=0
plt.axhline(0, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.8) # Linea orizzontale in y=0
plt.legend()
plt.xlim([-1.1, 2.1]) # Limiti leggermente più ampi per visualizzare bene
plt.ylim([-0.5, 4.5]) # Limiti per y per coprire i valori significativi

plt.show()

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