Studio di funzione da tema d’esame. Usiamo le formule di prostaferesi per calcolare la derivata

Esercizio

Analizzare la funzione

trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gli insiemi di continuità e derivabilità, i limiti significativi, gli asintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Lo studio di concavità e convessità può essere limitato a dimostrare che esistono intervalli di convessità di lunghezza arbitraria.
Disegnare un grafico qualitativo che tenga conto delle informazioni ottenute.

Soluzione

Dominio

Il dominio D della f coincide con

D = {x > 0} = (0, +∞)

Comportamento agli estremi del dominio

Inoltre si ha:

Estremo superiore ed inferiore

Le oscillazioni di f divengono illimitate per x → ∞, cosicchè

Si noti anche che la f cambia segno infinite volte per x → 0+.

Derivata prima

B) Studiamo la derivata prima.

Si ha:

Per arrivare a questo risultato abbiamo utilizzato le seguenti:

Quindi, al variare di k ∈ Z:

Massimi e minimi locali

Vale a dire, al variare di k ∈ Z,

Si noti infine che non esiste f′(0+).

Derivata seconda

C)

Calcoliamo:

Il segno di f′′ quindi è positivo se, per k ∈ Z:

Il  grafico

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