Analizzare la funzione
trovandone il dominio D, e studiandone l’estremo superiore e inferiore, gli insiemi di continuità e derivabilità, i limiti significativi, gli asintoti, gli intervalli di monotonia, gli estremi locali e assoluti. Lo studio di concavità e convessità può essere limitato a dimostrare che esistono intervalli di convessità di lunghezza arbitraria.
Disegnare un grafico qualitativo che tenga conto delle informazioni ottenute.
Soluzione
Indice
Dominio
Il dominio D della f coincide con
D = {x > 0} = (0, +∞)
Comportamento agli estremi del dominio
Inoltre si ha:
Estremo superiore ed inferiore
Le oscillazioni di f divengono illimitate per x → ∞, cosicchè
Si noti anche che la f cambia segno infinite volte per x → 0+.
Derivata prima
B) Studiamo la derivata prima.
Si ha:
Per arrivare a questo risultato abbiamo utilizzato le seguenti:
Quindi, al variare di k ∈ Z:
Massimi e minimi locali
Vale a dire, al variare di k ∈ Z,
Si noti infine che non esiste f′(0+).
Derivata seconda
C)
Calcoliamo:
Il segno di f′′ quindi è positivo se, per k ∈ Z:
Il grafico
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