Studio di funzione esponenziale fratta. Esercizio svolto

ESERCIZIO 1

Studiare il grafico della seguente funzione:

Dire se è applicabile il teorema di Lagrange nell’intervallo [-1,1].

SOLUZIONE

Si tratta di una funzione esponenziale fratta.

Dominio

C.E. = (− ∞,0)∪ (0,+∞)

Simmetrie

La funzione è dispari, infatti

sarà quindi sufficiente studiarla solo nell’intervallo (0,+∞).

Si osservi che nel dominio considerato il valore assoluto è superfluo!

Comportamento della funzione agli estremi del campo di esistenza

Nel punto x=0 la funzione presenta una discontinuità eliminabile. Possiamo quindi prolungare con continuità la funzione ridefinendola come segue:

 

Inoltre

Non ci sono asintoti orizzontali.

Ricerca di eventuali asintoti obliqui.

Asintoto obliquo

Assegnata una funzione, si utilizza il calcolo dei limiti per determinare l’eventuale asintoto obliquo a tale funzione. Ricordiamo che un asintoto obliquo è una retta del tipo:

Osservazioni:

1. una funzione algebrica intera non presenta asintoti obliqui,
2. una funzione algebrica razionale fratta ammette un solo asintoto obliquo (che non potrà mai coesistere con l’asintoto orizzontale) solo quando il grado del numeratore supera di uno il grado del denominatore,
3. le funzioni irrazionali il cui campo di esistenza si estende all’infinito potranno anche aver più asintoti obliqui o asintoti orizzontali e obliqui.

 

Dunque:

 

poiché:

quindi la retta y = x-1 è un asintoto obliquo per la funzione.

Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo

la derivata prima, nell’intervallo considerato, non si annulla mai ed è sempre positiva, la funzione quindi è sempre crescente.

Derivata seconda

La derivata seconda non si annulla mai in (0,+∞), inoltre poiché la funzione è sempre crescente in ( 0,+∞), la derivata seconda è sempre positiva in (0,+∞).

Grafico

Applicabilità del teorema di Lagrange

a) Il teorema di Lagrange non è applicabile poiché la funzione non è continua nel punto x=0 (punto interno all’intervallo assegnato)

 

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