Derivate esercizi svolti -Temi d’esame

Esercizio 1

La tabella seguente riporta i valori in alcuni punti delle funzioni f(x), g(x) e delle loro derivate f ‘(x), g ‘(x).

1. Si calcoli nel punto x₀ = 1 la derivata della funzione prodotto f(x) · g(x).
2. Si calcoli nel punto x₀ = 0 la derivata della funzione composta f(g(x)).
3. Si calcoli nel punto x₀ = −1 la derivata della funzione quoziente g(x)/f(x).

Soluzione

1

Come si calcola la derivata della funzione prodotto

Si ha:

2

Come si calcola la derivata della funzione composta

Si ha:

3

Come si calcola la derivata della funzione quoziente

Si ha:

LE DERIVATE

Tabella delle derivate fondamentali

 

Esercizio 2

Si consideri la funzione:

1. Si provi che la funzione f(x) ammette almeno due zeri.
2. Si determinino gli asintoti di f.
3. Si calcoli f ‘(x).
4. Si determini l’approssimante lineare f di f nel punto x₀ = 1

Soluzione

1

Poichè f è continua su ]−∞, 0[,

lim_x→−∞ f(x) = −∞ e lim_x→0− f(x) =+∞,

il teorema della permanenza del segno e il teorema di esistenza degli zeri assicurano l’esistenza di almeno un punto x₁ ∈ ] − ∞, 0[ tale che f(x₁) = 0.

Analogamente si prova l’esistenza di almeno un punto x₂ ∈ ]0, +∞[ tale che f(x₂) = 0.

Teorema della permanenza del segno

Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R continua su I. Si assuma che in un dato punto c ∈ I risulti f (c) > 0 (risp., f (c) < 0). Allora esiste
δ > 0 tale che f (x) > 0 (risp., f (x) < 0) per ogni x ∈ I ∩(c −δ, c +δ). 

Corollario Teorema dei valori intermedi – I forma.

Sia f : [a,b] → R continua (su [a,b]).
Allora f assume tutti i valori compresi tra min{f (a), f (b)} e max{f (a), f (b)}. 

Corollario Teorema dei valori intermedi – II forma

Sia f : [a,b] → R continua (su [a,b]). Allora f assume tutti i valori compresi tra min_[a,b]f e max_[a,b]f .

Teorema di Bolzano ( teorema degli zeri)

Sia f : [a, b] → R continua e sia f(a)f(b) < 0, allora esiste x₀ ∈ (a, b) tale che f(x₀) = 0.

2

Poichè

f ha un solo asintoto obliquo, a +∞, avente equazione y = 2x.
Inoltre, poichè

f ha un solo asintoto verticale, avente equazione x = 0.

3

4

poichè:

Le formule di Taylor e Maclaurin

Esercizio 3

Si calcoli

Soluzione

Si tratta di una forma di indecisione del tipo 0/0. Applicando il teorema di de L’Hospital, si ha:

IL TEOREMA DI DE L’HOPITAL

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