Partendo da un cartoncino di formato A4, si cerca di ricavare la scatola (senza coperchio) più capiente, praticando alla giusta distanza due tagli perpendicolari a lato di ogni angolo, in modo da escludere in tutto 4 quadrati uguali. Calcola al millimetro la misura dei tagli opportuna.
Svolgimento
I fogli di formato A sono costruiti così: il foglio A0 è un rettangolo di area 1𝑚2 e con lati in rapporto uguale a √2. Viene diviso a metà lungo il suo lato maggiore per ottenere due fogli di formato A1, i quali a loro volta vengono tagliati con lo stesso criterio, formando ciascuno due fogli di formato A2. Lo stesso avviene per i formati successivi, che indicano fogli sempre più piccoli, con l’area dimezzata rispetto ai formati precedenti. Quindi se a è il lato maggiore per esempio del rettangolo di formato A3 e b è il lato maggiore del rettangolo di formato A4, si ha che
che è anche il rapporto fra le dimensioni di uno stesso foglio.
Siccome il foglio formato A0 ha area di 1 𝑚2 = 10000 𝑐𝑚2, il foglio di formato A4 avrà area
dove 𝑙 è il lato per esempio minore.
Quindi
Moltiplicando per √2 si ottiene l’altra dimensione, di 29.73010 𝑐m.
Per indicare più brevemente i calcoli poniamo 𝑎 =√2 e 𝑏 = 1. Una volta ottenuto il risultato lo moltiplicheremo per il vero valore di b:
Le dimensioni iniziali della scatola ideale vengono accorciate di 2x, così avremo un volume pari a V= x(a−2x)(b−2x).
Per cercare il volume massimo consideriamo la funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑎 − 2𝑥)(𝑏 − 2𝑥), definita nell’intervallo[︀0,𝑏/2]︀, perché non si può pensare di praticare il taglio oltre la metà del lato minore.
perché non si può pensare di praticare il taglio oltre la metà del lato minore. Consideriamo gli estremi dell’intervallo inclusi: sappiamo che a distanza zero e a distanza 𝑏/2 da un vertice non ha senso praticare il taglio perché il volume risulta nullo: 𝑓(0) = 𝑓(︀𝑏/2)︀ = 0.
Senza nessun taglio, la scatola non esiste e il volume è nullo. Si provano tagli via via più profondi e più distanti dai vertici, si piegano i margini, la scatola prende forma e il volume cresce. Si arriverà ad un taglio (almeno uno) di misura x che darà luogo al volume massimo. Il grafico di 𝑓(𝑥), in corrispondenza di x avrà la tangente orizzontale, perché la funzione che rappresenta il volume cresce fino al suo massimo, poi decresce. Quindi per x la derivata della funzione si annulla.
Calcoliamo la derivata e poniamola uguale a zero:
𝑓'(𝑥) = 12𝑥2 − 4(𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = 0.
È un’equazione di secondo grado, le cui soluzioni sono accettabili solo se appartengono all’intervallo dato.
Le considerazioni precedenti ci dicono che almeno una soluzione deve esistere: ne abbiamo la certezza esaminando
Sostituendo 𝑎 =√2 e 𝑏 = 1 si ottiene una sola soluzione nell’intervallo dato x = 0.192489 e infine, moltiplicando per 25 / 4√2
si perviene al valore 4.046580774.
Il taglio ottimale risulta perciò di circa 4 𝑐𝑚.
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