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LE DISUGUAGLIANZE ISOPERIMETRICHE NEL PIANO
Il presente argomento trova la sua collocazione in una V Liceo. Si tratta di alcuni risultati che arrivano a risolvere con l’uso di disuguaglianze (nel caso più semplice ottenibili con facili ragionamenti, nei casi più complessi ricorrendo a strumenti di analisi superiore), il problema degli
isoperimetri.
Partiamo con una semplicissima domanda.
Nell’insieme di tutti i quadrilateri del piano con lo stesso perimetro, esiste quello di area massima?
L’intuizione ci fa pensare che in generale se fissiamo il perimetro l’area di una qualsiasi figura non può aumentare più di tanto.
Proviamo comunque a ragionare sul problema posto.
Sia ABCD un qualunque quadrilatero.
Calcoliamo l’area.
Per il teorema dei seni,
Sommando si ottiene
Senza alterare il valore del perimetro, cerchiamo di ottenere mediante maggiorazioni delle quantità più grandi dell’area.
Le uniche proprietà cui ricorreremo sono:
Maggiorando i seni degli angoli si ottiene:
La disuguaglianza trovata rappresenta la disuguaglianza isoperimetrica per i quadrilateri, il senso è importante: dato un qualsiasi quadrilatero di perimetro assegnato p, la sua area non può superare il valore massimo di (1/16) p2
Il valore massimo dell’area sarà assunto dal quadrilatero per cui S = (1/16) p2
Ricordiamo che
se
a = b = c = d
e
α = β = γ = δ =π/2
si ha proprio S = (1/16) p2 , cioè il quadrilatero cercato è il quadrato.
Tra tutti i quadrilateri isoperimetrici il quadrato ha area massima.
Con questo teorema abbiamo capito quale sia la strada per arrivare alla soluzione di un problema più generale, il problema isoperimetrico: fissata una lunghezza L>0, tra tutte le curve piane di lunghezza L trovare quella che racchiude l’area massima.
Si considera una classe di figure piane e si cerca di ottenere una disuguaglianza che leghi area e perimetro dalla quale dedurre che fissato il perimetro l’area non può aumentare più di tanto (è superiormente limitata). Ciò è sufficiente a dimostrare l’esistenza della figura di area massima all’interno della classe in questione. Infine il segno di uguale vale soltanto per la figura cercata. Con questo metodo non solo si dimostra l’esistenza ma anche quale sia la figura.
Poligoni di n lati isoperimetrici
Dopo i quadrilateri consideriamo l’insieme di tutti i poligoni di n lati isoperimetrici. Se per i quadrilateri la soluzione è il quadrato per i poligoni sarà un poligono regolare di n lati, infatti si arriva a dimostrare che:
tra tutti i poligoni di n lati isoperimetrici quello di area massima è il poligono regolare.
Figure a contorno curvilineo
Dopo i poligoni dobbiamo considerare le figure a contorno curvilineo.
Il risultato cui si arriva è la disuguaglianza isoperimetrica nel piano: sia L>0 una lunghezza assegnata. Consideriamo una qualsiasi curva di lunghezza L e sia S l’area racchiusa. Allora vale la disuguaglianza
La disuguaglianza isoperimetrica nel piano assicura l’esistenza della figura di area massima.
Il segno di uguaglianza dà la figura, ma questa è proprio il cerchio per il quale C2/4π (C ovviamente è la misura della circonferenza).
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