Perchè il concetto di derivata è così importante in analisi?

La derivata è connessa alle variazioni di una funzione e le variazioni sono, molto spesso, le uniche grandezze rilevabili sperimentalmente.

Ad esempio, nell’osservazione astronomica possiamo rilevare le variazioni di luminosità di una stella, o di posizione di un pianeta. In fisica possiamo osservare le variazioni delle grandezze cinematiche, termodinamiche, elettromagnetiche.

Ma tutte le scienze in generale hanno a che fare con le variazioni: di popolazioni(biologia), di prezzi (economia), di parametri vitali (medicina).
Avere gli strumenti teorici che consentono di passare dalla conoscenza delle variazioni alla conoscenza dell’andamento di un fenomeno è quindi cosa di eccezionale rilevanza per la scienza e per la società.

Per questo, la derivata è forse il concetto più importante dell’analisi.

Derivata e derivabilità

Il concetto di derivata e stato esplicitato ben prima di quello di continuità.
Questo è dovuto al fatto che problemi quali la determinazione delle tangenti, dei massimi e dei minimi, delle velocità erano fondamentali per la scienza del Seicento e del Settecento.

Il problema delle tangenti

Come caso emblematico, vediamo brevemente in che cosa consiste il problema delle tangenti.
Dalla geometria elementare, sappiamo come determinare la tangente ad un cerchio e ad una conica in generale. Quando però si passa alla determinazione della tangente di altre curve, si osserva subito che non è più possibile definire come tangente alla curva γ in un punto P₀ la retta che ha in comune con γ solo il puntoP₀  (Fig.1), o che non attraversa la curva stessa in P₀ (Fig.2)

Casi particolari di tangenza

Invece, l’intuizione induce a scegliere come tangente alla curva la retta per P₀ che più di ogni altra si confonde con la curva in prossimità di P₀ . Se poi vogliamo disegnare approssimativamente la tangente basterà considerare sulla curva un secondo punto P₁ convenientemente vicino a P₀ , e tracciare la retta P₀ P₁. E questo e quanto, in fondo, affermava Leibniz.

Secante e tangente in P₀ 

Dal punto di vista analitico, è immediato vedere che la tangente sarà determinata una volta che sia determinato il suo coefficiente angolare. L’idea guida è allora pensare al coefficiente angolare della retta tangente come limite del coefficiente angolare della retta secante, quando il punto P₁ tende a P₀ . Il problema, naturalmente, è come calcolare questo coefficiente. La cosa è complicata se le curve sono espresse da equazioni implicite nelle variabili, o in forma parametrica, come inizialmente era per Cartesio, Leibniz e Newton.
Ma diventa invece molto più semplice se esprimiamo la curva mediante l’equazione di una funzione, perchè allora il punto P₁ tende a P₀ quando x₁ tende a x₀ , e il coefficiente della retta  è dato dal rapporto incrementale

e coincide con la tangente trigonometrica dell’angolo Q P₀ P₁

Problemi come questi portano allora a riconoscere l’importanza di tale limite e quindi a considerare fondamentale il concetto di derivata di una funzione.

Definizione di derivata

Sia f una funzione reale definita su un intervallo D e sia x₀  ∈ D.
Si dice derivata di f nel punto x₀  il limite del rapporto incrementale al tendere di x ad x₀ , ossia:

se tale limite esiste ed è finito.

Definizione di funzione derivabile

Si dice che f è derivabile in x₀  se ammette derivata in x₀ .

Definizione  retta tangente ad una curva

La retta tangente alla curva f , nel punto di ascissa x₀ è la retta di equazione:

Che la retta tangente così definita sia poi la funzione lineare che meglio approssima la curva in un intorno del punto deriva immediatamente dalla definizione di derivata.

Infatti, se f è derivabile in x₀ , si ha che

Da questo segue:

perciò, prendendo l’ordinata del punto T₁ sulla retta tangente, invece che del punto P₁ sulla curva, si compie un errore che è infinitesimo di ordine maggiore di x − x₀ .

Si può anche mostrare che la tangente è l’ unica, tra le rette per il punto P₀ , ad avere questa proprietà, e che quindi è appropriato affermare che è la funzione lineare che meglio approssima la curva in un intorno di P₀ , attribuendo così un significato ben preciso all’espressione precedente.

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