La circonferenza nel piano cartesiano. Risoluzione di esercizi con metodo geometrico e analitico.

Esercizio 1

Stabilire se le equazioni

 rappresentano una circonferenza e in caso affermativo trovare centro e raggio.

Soluzione

Occorre imporre:

quindi non è una circonferenza.

La seconda equazione, dividendo tutto per 2 diventa:

 

Esercizio 2

Determinare per quali valori di k l’equazione

rappresenta una circonferenza. Se k=5 è un valore per cui l’equazione data rappresenta una circonferenza, determinare centro e raggio della circonferenza.

Soluzione

Occorre imporre, come nell’esercizio precedente:

pertanto l’equazione rappresenta una circonferenza per k < −2 ∨ k >1.

Se k=5, l’equazione della circonferenza è

Esercizio 3

Determinare l’equazione della circonferenza avente come diametro il segmento di estremi A(5, -3), B(1,−1)

Soluzione

Il centro è il punto medio del segmento di estremi A, B:

C(3, -2).

Il raggio è:

Esercizio 4

Data la circonferenza x² + y² –2x + 4y – 20 = 0 determinare se il punto P(5,3) è esterno, interno o appartiene alla circonferenza.

Soluzione

Metodo algebrico:

si sostituiscono le coordinate di P nell’equazione della circonferenza se è un numero >0 allora P è esterno, se =0 P è sulla circonferenza, se <0 P è interno.

In questo caso 25+9-10+12-20=16>0, P è esterno.

Metodo geometrico:

distanza centro-punto: se è maggiore del raggio è esterno (se minore del raggio P è interno, se = al raggio P appartiene alla circonferenza):

poiché 41>5 allora P è esterno.

Esercizio 5

Data la circonferenza di centro C(−5, 2) e passante per P(−1,−3), determinare l’equazione della retta tangente a in P.

Soluzione

Metodo geometrico 1:

la retta tangente passa per P e, essendo perpendicolare al raggio, ha coefficiente angolare uguale a

Metodo geometrico 2:

calcolo il raggio CP= √41 e poi impongo la distanza del centro dal fascio di rette passanti per P uguale al raggio:

Metodo analitico:

Trovo l’equazione della circonferenza di centro C(−5, 2) e raggio CP= √41 :

x² + y² + 10x -4y – 12=0

scrivo il fascio di rette per P: y + 3 = m(x +1) e imposto il sistema

risolvo imponendo Δ = 0 e trovo m.

Esercizio 6

Determinare le coordinate dei punti P, Q di intersezione della circonferenza γ :

con la retta r : x – y – 2 = 0.

E’ possibile determinare la lunghezza della corda PQ senza fare uso delle coordinate degli estremi? Spiega.

Soluzione

Si risolve il sistema tra la retta e la circonferenza per sostituzione, ad esempio ponendo x = y + 2 .

Si trovano i punti P(5, 3), Q(1, -1).

Dato che il centro di γ è C(1, 3) ed il raggio misura 4, indicata con H la proiezione ortogonale di C sulla retta r, per determinare la lunghezza della corda PQ basta applicare il teorema di Pitagora al triangolo CHP, retto in H:

Esercizio 7

Determinare l’equazione della circonferenza tangente alla retta t : x−y−1 = 0 nel punto T (2,−1) e passante per A(−4,−3).

Soluzione

Il centro C si trova intersecando la retta perpendicolare a t e passante per T (x + y − 1 = 0) con l’asse del segmento AT (3 x + y + 5 = 0): si trova C(−3, 4).

Il raggio è r = CT = 50 , quindi l’equazione della circonferenza è

 

 

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