Esercizi svolti di geometria analitica.La circonferenza. Usiamo il teorema di Pick( Temi d’esame)

Breve ripasso:

Qui trovi il formulario completo di geometria analitica

ESERCIZIO 

a) Scrivi l’equazione della circonferenza γ₁ di centro P(−3; 2) e passante per il punto A(0;1).
b) Scrivi l’equazione della circonferenza γ₂ simmetrica di γ₁ rispetto alla retta y = x + 1 e rappresenta graficamente γ₁ e γ₂.
c) Determina le tangenti r e s a γ₁ e γ₂ mandate dal punto S(−10; −9) che non intersecano rispettivamente γ₂ e γ₁.
Siano Q e R i rispettivi punti di tangenza.
d) Calcola l’area del trapezio isoscele individuato da PQR e dal centro di γ₂.

SOLUZIONE

a) A partire dall’equazione generica della circonferenza

x² + y² + ax+ by + c = 0,

conoscendo le coordinate del centro si ha immediatamente
a = 6 e b = −4, e sostituendo nell’equazione le coordinate di A si ottiene:
0²+ 1² + 6 · 0 − 4 · 1 + c = 0  ⇒  c = 3
ottenendo:

γ₁:   x²+ y² + 6x − 4y + 3 = 0  ovvero  (x + 3)²+(y − 2)² = 10

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b)

Dall’osservazione del grafico, si osserva immediatamente che il centro della circonferenza γ₂ ha coordinate P(1; −2). Considerando che le due circonferenze hanno lo stesso raggio, si può scrivere immediatamente l’equazione di

γ_2:  (x − 1)²+(y + 2)²= 10 ovvero x²+ y² − 2x + 4y − 5 = 0

Naturalmente si poteva procedere come al punto a), ossia sostituendo le coordinate di A nell’equazione di γ2 per determinare il valore di c, ma la soluzione proposta è ancora più rapida.

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c) Dopo aver scritto l’equazione della retta r generica passante per S (fascio proprio di centro S), la condizione di tangenza richiede che la distanza del centro P da r sia uguale al raggio di γ₁.
Si ha dunque:

r : y + 9 = m(x + 10) → y = m(x + 10) − 9 → mx − y + 10m− 9 = 0

e successivamente:

Ricordando che:

⇒

L’osservazione del grafico consente di stabilire che la soluzione richiesta corrisponde a m = 3 (l’altra soluzione corrisponderebbe alla seconda tangente, che interseca γ₂ ed è pertanto esclusa dal testo del problema). Sostituendo tale valore nell’equazione del fascio si ha infine:

r : y = 3(x + 10) − 9 → y = 3x + 21 → 3x − y + 21 = 0

Per determinare le coordinate di Q basta cercare l’intersezione tra la retta r appena trovata e la retta che contiene il raggio PQ (retta passante per P e perpendicolare a r):

retta PQ :

Dal sistema tra le equazioni delle due rette si ha infine:

Ancora dall’osservazione del grafico, si nota che il punto S appartiene alla retta y = x+1, che è asse di simmetria per la figura. La tangente s a γ₂ e il punto di tangenza R saranno dunque anch’essi simmetrici, rispettivamente di r e Q, rispetto allo stesso asse di simmetria. Le coordinate di R si ricavano direttamente dall’osservazione del grafico e dalla simmetria sopra evidenziata: risulta R(2; −5). Per determinare l’equazione della tangente s basta dunque scrivere l’equazione della retta passante per R e S:

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d) Dal momento che il quadrilatero PQRP (trapezio isoscele per le evidenziate proprietà di simmetria) risulta avere i vertici con coordinate intere, la via più breve per determinarne l’area è

la formula di Pick:

A = I +C/2 − 1,

ove I è il numero di punti del reticolo interni al poligono e C il numero di punti del reticolo sul contorno del poligono stesso. Osservando il grafico, nel nostro caso si ha

I = 6 e C = 14, da cui A = 6 +14/2− 1 = 12.

Teorema di Pick

In un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere, siano:

• i il numero di punti a coordinate intere interni al poligono;
• p il numero di punti a coordinate intere sul perimetro del poligono (vertici compresi).
• L’area A del poligono può essere calcolata tramite la formula:

ESEMPIO

Volendo procedere in maniera tradizionale, ma comunque avvalendosi di opportune “scorciatoie” fornite dall’osservazione del grafico, si ha:

come già determinato in precedenza.

 

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