L’Aquilone Nascosto: Come Risolvere il Problema di Geometria delle Circonferenze nel Quadrato usando l’Asse Radicale

Passo 1 — Portiamo il problema sul piano cartesiano

Per semplificare la vita scegliamo un sistema di riferimento naturale. Poniamo:

[math]A=(0,0)[/math]

[math]B=(5,0)[/math]

[math]C=(5,5)[/math]

[math]D=(0,5)[/math]

In questo modo il quadrato occupa la regione:

[math]0\le x\le5, \qquad 0\le y\le5[/math]

La regione verde è un quadrilatero con:

• due vertici già noti: [math]A(0,0) \quad\text{e}\quad C(5,5)[/math]
• due vertici ancora sconosciuti, ottenuti dalle intersezioni tra archi rossi e curve blu. Troviamoli.

Passo 2 — Equazioni delle curve

Consideriamo il punto di intersezione sinistro. Esso appartiene contemporaneamente:

• all’arco rosso superiore;
• al semicerchio blu sinistro.

Equazione dell’arco rosso

L’arco ha centro in: [math]B=(5,0)[/math] e raggio: [math]5[/math]

L’equazione della circonferenza è:

[math](x-5)^2+y^2=25[/math]

Sviluppando:

[math]x^2-10x+25+y^2=25[/math]

ossia:

[math]x^2+y^2-10x=0[/math]

Equazione del semicerchio blu sinistro

Il centro è: [math]\left(0,\frac52\right)[/math] e il raggio vale: [math]\frac52[/math]

L’equazione della circonferenza associata è:

[math]x^2+\left(y-\frac52\right)^2= \left(\frac52\right)^2[/math]

Sviluppando:

[math]x^2+y^2-5y=0[/math]

Passo 3 — La “magia” dell’intersezione

Cerchiamo il punto comune risolvendo il sistema:

[math]\displaystyle
\begin{cases}
x^2+y^2-10x=0 \\
x^2+y^2-5y=0
\end{cases}
[/math]

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima.

I termini quadratici spariscono immediatamente:

[math]-10x+5y=0[/math]

da cui:

[math]y=2x[/math]

Ed ecco comparire una retta. Questa retta non è casuale: in geometria si chiama asse radicale (ne parleremo tra poco).

Questo è un passaggio molto importante: in problemi di intersezione tra curve, eliminare i termini quadratici spesso trasforma un problema difficile in uno molto semplice.

Ora sostituiamo [math]y=2x[/math] nell’equazione [math]x^2+y^2-5y=0[/math]. Otteniamo:

[math]x^2+(2x)^2-5(2x)=0[/math]

cioè:

[math]x^2+4x^2-10x=0[/math]

[math]5x^2-10x=0[/math]

[math]5x(x-2)=0[/math]

Le soluzioni sono: [math]x=0 \quad\text{oppure}\quad x=2[/math]

Il valore [math]x=0[/math] produce il punto [math](0,0)[/math], che è il vertice già noto del quadrato.

L’altro punto è [math]x=2[/math] e quindi:

[math]y=2\cdot2=4[/math]

Abbiamo trovato il primo vertice interno: [math]P=(2,4)[/math]

Passo 4 — Il secondo punto senza rifare i conti

Qui entra in gioco la simmetria. L’intera figura è perfettamente simmetrica rispetto alla diagonale: [math]y=x[/math]

Quindi il punto speculare di [math](2,4)[/math] è semplicemente: [math](4,2)[/math]

Abbiamo così tutti i vertici della regione verde:

[math](0,0), \quad (2,4), \quad (5,5), \quad (4,2)[/math]

 

Calcolo dell’area — Metodo 1 (Geometria Analitica)

Dividiamo l’aquilone lungo la diagonale: [math]AC[/math]

Otteniamo due triangoli congruenti.

Calcoliamo l’area del triangolo superiore usando il determinante:

[math]A= \frac12 |x_3y_2-x_2y_3|[/math]

Sostituiamo:

[math]A= \frac12 |5\cdot4-2\cdot5|[/math]

[math]\frac12|20-10|[/math]

[math]=5[/math]

Poiché i triangoli sono due:

[math]A_{verde}=2\cdot5[/math]

Otteniamo:

[math]\boxed{ A_{verde}=10\text{ cm}^2 }[/math]

Metodo 2 — La scorciatoia elegante dell’aquilone

La regione verde è un aquilone.

Per un aquilone vale:

[math]A= \frac{d_1d_2}{2}[/math]

Diagonale maggiore

La diagonale [math]AC[/math] misura: [math]5\sqrt2[/math]

Diagonale minore

La distanza tra [math](2,4) \quad\text{e}\quad (4,2)[/math] vale:

[math]\sqrt{(4-2)^2+(2-4)^2}[/math]

[math]\sqrt{4+4}[/math]

[math]2\sqrt2[/math]

Allora:

[math]A= \frac{(5\sqrt2)(2\sqrt2)}2[/math] = [math]\frac{20}{2}[/math] =  [math]10[/math]

Esattamente lo stesso risultato.

Soluzione finale

L’area della regione verde è: [math]\boxed{ 10\text{ cm}^2 }[/math]

Approfondimento: Il segreto dietro la magia (L’Asse Radicale)

Perché al Passo 3 è bastato sottrarre le due equazioni per far crollare la difficoltà del problema?

La risposta risiede in un potente strumento matematico chiamato asse radicale.

Quando calcoli l’intersezione tra due circonferenze secanti (che si incrociano in due punti) e sottrai le loro equazioni, non stai semplicemente manipolando l’algebra a tuo favore. Stai trovando l’equazione della retta che passa esattamente per quei due punti di intersezione.

Geometricamente, l’asse radicale è il luogo dei punti che hanno la stessa “potenza” rispetto a entrambe le circonferenze. La sua proprietà più evidente è che è sempre perpendicolare al segmento che unisce i centri delle due circonferenze.

Questo principio non è solo un trucco scolastico. È il fondamento della geometria computazionale: i software CAD o i motori grafici dei videogiochi usano esattamente la tecnica dell’asse radicale per calcolare le collisioni tra forme curve, riducendo un complesso problema di secondo grado a un banalissimo incrocio tra una retta e un cerchio, risparmiando un’enorme quantità di potenza di calcolo.

---

Domande di riflessione

1. Perché compare la retta [math]y=2x[/math]?

Perché sottraendo le equazioni delle due curve si eliminano automaticamente i termini quadratici: [math]x^2+y^2[/math] e resta una relazione lineare. È una tecnica potentissima nei problemi con circonferenze.

2. Perché il secondo punto è [math](4,2)[/math] senza rifare i conti?

Perché tutta la figura è simmetrica rispetto alla diagonale: [math]y=x[/math]. Specchiare un punto rispetto a questa retta significa semplicemente scambiare le coordinate.

3. Perché il quadrilatero verde è un aquilone?

Perché possiede:

• due coppie di lati consecutivi congruenti;
• una diagonale asse di simmetria.

La diagonale [math]AC[/math] divide infatti la figura in due parti perfettamente speculari.

4. Qual è la vera idea matematica del problema?

La difficoltà non era il calcolo. La vera sfida era vedere la struttura nascosta:

• trasformare il disegno in equazioni;
• sfruttare la simmetria;
• riconoscere un aquilone nascosto.

È uno di quei problemi in cui la geometria sembra complicata finché non si trova il punto giusto da cui guardarla.