Cos’è la parabola

La parabola fa parte di un insieme di curve (circonferenza, ellisse, iperbole) chiamate coniche, perché si possono ottenere tagliando un cono con un piano.
Consideriamo un cono di asse r con angolo al vertice 2β. Sezioniamo la superficie del cono con un piano che formi con l’asse del cono un
angolo α=β.
La figura che si ottiene dall’intersezione è una parabola.

La parabola e la sua equazione

DEFINIZIONE
Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da d.
Il luogo geometrico di questi punti è la parabola.

Il punto F e la retta d sono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della parabola.

La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola. Il punto V in cui la parabola interseca il suo asse è detto vertice della parabola.

Si dimostra che l’equazione di una generica parabola è la seguente:

y = ax² + bx +c    con a ∈ R – {0}

 

Esercizio 1

Determinare l’equazione della parabola di vertice V(–2;0) e passante per P(0;4).

Soluzione

Considerata l’equazione della parabola y = ax² + bx + c
basta imporre:
1) l’appartenenza del punto P alla parabola,
2) l’appartenenza del vertice V alla parabola 
3) la coincidenza dell’ascissa del vertice della parabola con l’ascissa di V.
Si ottengono le tre equazioni:

Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 4, c = 4.
Dunque l’equazione della parabola è :

y = x²+ 4x + 4

Esercizio 2

Determinare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, passante per P(0; 1), per B (–1 ; –1 ) e ivi tangente alla retta y – x = 0 .

Soluzione

Considerata l’equazione della parabola
y = ax² + bx + c
basta imporre:
1) l’appartenenza del punto P alla parabola,
2) l’appartenenza del punto B alla parabola 
3) la condizione di tangenza tra la parabola e la retta y = x.
Si ottengono le tre equazioni:

Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 3, c = 1.

Dunque l’equazione della parabola è : y = x² +3x + 1.

Esercizio 3

Determinare l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse x, passante per

A (-2 ; -1), per B ( 0 ; -3 ) e per O ( 0 ; 0).

Soluzione

Considerata l’equazione della parabola
x = ay² + by + c
basta imporre:
1) l’appartenenza del punto A alla parabola,
2) l’appartenenza del punto B 
3) l’appartenenza del punto O.
Si ottengono le tre equazioni

Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 3, c = 0.
Dunque l’equazione della parabola è: x = y²+3y .

Esercizio 4

Determinare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle x, avente per asse la retta y = –1/4 , passante per A (3 ; 0) e B ( 4 ; –1).

Soluzione

Considerata l’equazione della parabola
x = ay² + by + c
basta imporre:

1) la coincidenza della equazione dell’asse della parabola con la retta y = –1/4 ,
2)  l’appartenenza del punto A alla parabola 
3) l’appartenenza del punto B.

Si ottengono le tre equazioni ,

Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 2, b = 1, c = 3.
Dunque l’equazione della parabola è : x = 2y² +y +3

Esercizio 5

Determinare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle x, avente il vertice in V (–1/4 ; –3/2 ) e tangente alla retta di equazione x – y – 1 = 0 .

Soluzione

Considerata l’equazione della parabola x = ay² + by + c basta imporre:
1) l’appartenenza del vertice V alla parabola,
2) che l’ascissa generica del vertice –b/2a sia uguale a –1/4 
3) la condizione di tangenza tra la parabola e la retta x – y – 1 = 0.
Si ottengono le tre equazioni

Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 1, c = 2.
Dunque l’equazione della parabola è x = y² + y +2.

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