L’arco descritto da un pallone da basket, la forma che permette a un’antenna di captare segnali lontanissimi, la traiettoria quasi perfetta di un proiettile. Dietro a questi fenomeni così diversi si nasconde la stessa, elegante figura matematica: la parabola.

Ma come si passa dalla sua equazione astratta, [math]y=ax^2+bx+c[/math], a risolvere problemi concreti, come massimizzare l’area di un terreno o trovare la traiettoria di lancio ideale?

Questo articolo non è una semplice lista di formule. È un percorso guidato in sei tappe, sei esercizi di difficoltà crescente pensati per trasformare la parabola da un concetto scolastico a uno strumento versatile e intuitivo. Partiremo dalle basi sicure, analizzando vertice e intersezioni, per arrivare a toccare applicazioni complesse come l’ottimizzazione e lo studio di intere famiglie di curve.

Allaccia le cinture, si parte.

Esercizio 1: Parabola Fondamentale (Livello Facile)

Testo: Data la parabola di equazione [math]y=x^2-4x+3[/math], determina:

• Le coordinate del vertice
• L’equazione dell’asse di simmetria
• Le intersezioni con gli assi cartesiani

Risoluzione:

Passo 1: Coordinate del vertice

Per una parabola in forma [math]y=ax^2+bx+c[/math], il vertice ha coordinate:

[math]\displaystyle V=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/math]

dove [math]\Delta=b^2-4ac[/math].

Nel nostro caso: [math]a=1[/math], [math]b=-4[/math], [math]c=3[/math].

[math]\displaystyle x_V=-\frac{-4}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2[/math]

[math]\displaystyle \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4[/math]

[math]\displaystyle y_V=-\frac{4}{4\cdot 1}=-1[/math]

Vertice: [math]V(2,-1)[/math]

Passo 2: Asse di simmetria

L’asse di simmetria è la retta verticale passante per il vertice:

[math]x=2[/math]

Passo 3: Intersezioni con gli assi

Con l’asse [math]y[/math] ([math]x = 0[/math]):

[math]\displaystyle y=0^2-4\cdot 0+3=3[/math]

Punto: [math]A(0,3)[/math]

Con l’asse [math]x[/math] ([math]y = 0[/math]):

[math]x^2-4x+3=0[/math]

[math]\displaystyle x=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}[/math]

[math]x_1=3[/math], [math]x_2=1[/math]

Punti: [math]B(1,0)[/math], [math]C(3,0)[/math]

Grafico:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-1, 5, 400)
y = x**2 - 4*x + 3

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, 'b-', linewidth=2, label='y = x² - 4x + 3')
plt.axvline(x=2, color='r', linestyle='--', alpha=0.7, label='Asse di simmetria x=2')
plt.plot(2, -1, 'ro', markersize=8, label='Vertice V(2,-1)')
plt.plot([0,1,3], [3,0,0], 'go', markersize=6, label='Intersezioni con assi')
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.title('Parabola: y = x² - 4x + 3')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axis('equal')
plt.show()

💡 Osservazioni:

• La parabola ha concavità verso l’alto ([math]a > 0[/math])
• Il vertice è il punto di minimo
• L’asse di simmetria divide la parabola in due parti specularmente uguali

Domanda di riflessione: Come cambierebbe la parabola se il coefficiente [math]a[/math] fosse negativo?

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Esercizio 2: Da Vertice e Punto a Equazione (Livello Facile-Intermedio)

Testo: Determina l’equazione della parabola con vertice in [math]V(1,2)[/math] che passa per il punto [math]P(3,6)[/math]. Scrivi l’equazione sia in forma canonica che in forma generale.

Risoluzione:

Passo 1: Forma dell’equazione

Una parabola con vertice in [math](x_V,y_V)[/math] ha equazione:

[math]y=a(x-x_V)^2+y_V[/math]

Nel nostro caso: [math]x_V=1[/math], [math]y_V=2[/math]

[math]y=a(x-1)^2+2[/math]

Passo 2: Determinazione di [math]a[/math] usando il punto [math]P(3, 6)[/math]

Sostituiamo le coordinate di [math]P[/math] nell’equazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 6&=a(3-1)^2+2 \\ 6&=a\cdot 4+2 \\ 4a&=4 \Rightarrow a=1 \end{aligned}[/math]

Passo 3: Equazioni finali

Forma canonica:

[math]y=1\cdot(x-1)^2+2=(x-1)^2+2[/math]

Forma generale (sviluppando i calcoli):

[math]\displaystyle y=(x^2-2x+1)+2=x^2-2x+3[/math]

Grafico:

x = np.linspace(-2, 4, 400)
y = (x-1)**2 + 2

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, 'b-', linewidth=2, label='y = (x-1)² + 2')
plt.plot(1, 2, 'ro', markersize=8, label='Vertice V(1,2)')
plt.plot(3, 6, 'go', markersize=6, label='Punto P(3,6)')
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.title('Parabola con vertice V(1,2) passante per P(3,6)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axis('equal')
plt.show()

💡 Osservazioni:

• La forma [math]y=a(x-x_V)^2+y_V[/math] è molto utile quando conosciamo il vertice
• Il parametro [math]a[/math] determina l’apertura della parabola
• Con [math]a = 1[/math], la parabola ha la stessa apertura di [math]y = x^2[/math]

Domanda di riflessione: Quante parabole passano per due punti dati? E per tre punti?

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Esercizio 3: Parabola per Tre Punti (Livello Intermedio)

Testo: Determina l’equazione della parabola passante per i punti [math]A(-1,4)[/math], [math]B(0,1)[/math], [math]C(2,7)[/math].

Risoluzione:

Passo 1: Forma generale

L’equazione generale di una parabola con asse verticale è:

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

Passo 2: Sistema di equazioni

Sostituiamo le coordinate dei tre punti:

• Per [math]A(-1, 4)[/math]: [math]a(-1)^2+b(-1)+c=4\Rightarrow a-b+c=4[/math]
• Per [math]B(0, 1)[/math]: [math]a(0)^2+b(0)+c=1\Rightarrow c=1[/math]
• Per [math]C(2, 7)[/math]: [math]a(4)+b(2)+c=7\Rightarrow 4a+2b+c=7[/math]

Passo 3: Risoluzione del sistema

Sappiamo che [math]c = 1[/math], quindi:

[math]\displaystyle \begin{cases} a-b+1=4 \\ 4a+2b+1=7 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a-b=3 \\ 4a+2b=6 \end{cases}[/math]

Dalla prima: [math]a=b+3[/math]

Sostituendo nella seconda:

[math]\displaystyle 4(b+3)+2b=6\Rightarrow 4b+12+2b=6\Rightarrow 6b=-6\Rightarrow b=-1[/math]

[math]a=(-1)+3=2[/math]

Passo 4: Equazione finale

[math]y=2x^2-x+1[/math]

Grafico:

x = np.linspace(-2, 3, 400)
y = 2*x**2 - x + 1

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, 'b-', linewidth=2, label='y = 2x² - x + 1')
plt.plot([-1, 0, 2], [4, 1, 7], 'ro', markersize=6, label='Punti A, B, C')
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.title('Parabola passante per tre punti')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axis('equal')
plt.show()

💡 Osservazioni:

• Tre punti non allineati determinano univocamente una parabola
• Il metodo del sistema è generale e funziona sempre
• Possiamo verificare sostituendo i punti nell’equazione trovata

Domanda di riflessione: Perché servono esattamente tre punti per determinare una parabola?

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Esercizio 4: Problema di Ottimizzazione (Livello Intermedio-Avanzato)

Testo: Un agricoltore ha 100 metri di recinzione per delimitare un orto rettangolare appoggiato a un muro (quindi deve recintare solo tre lati). Determina le dimensioni dell’orto che massimizzano l’area coltivabile.

Risoluzione:

Passo 1: Modellizzazione del problema

Chiamiamo:

• [math]x[/math]: lunghezza del lato parallelo al muro (metri)
• [math]y[/math]: lunghezza dei due lati perpendicolari al muro (metri)

Il vincolo della recinzione: [math]x+2y=100[/math] (solo tre lati da recintare)

Passo 2: Funzione obiettivo

L’area da massimizzare è: [math]A=x\cdot y[/math]

Passo 3: Sostituzione del vincolo

Dalla relazione [math]x+2y=100[/math] ricaviamo: [math]x=100-2y[/math]

Sostituendo nell’area:

[math]\displaystyle A(y)=(100-2y)\cdot y=100y-2y^2[/math]

Passo 4: Massimizzazione

L’area è una funzione quadratica in [math]y[/math]: [math]A(y)=-2y^2+100y[/math]

Questa è una parabola con concavità verso il basso ([math]a = -2 < 0[/math]), quindi ha un massimo nel vertice.

Coordinata [math]y[/math] del vertice:

[math]\displaystyle y_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2\cdot(-2)}=\frac{100}{4}=25[/math]

Passo 5: Dimensioni ottimali

[math]y=25[/math] metri

[math]x=100-2\cdot 25=50[/math] metri

[math]A_{\text{max}}=50\cdot 25=1250 \text{ m}^2[/math]

Grafico:

y = np.linspace(0, 50, 400)
A = 100*y - 2*y**2

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(y, A, 'b-', linewidth=2, label='A(y) = 100y - 2y²')
plt.plot(25, 1250, 'ro', markersize=8, label='Massimo A(25) = 1250 m²')
plt.axvline(x=25, color='r', linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axhline(y=1250, color='r', linestyle='--', alpha=0.7)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.title('Area in funzione della dimensione y')
plt.xlabel('y (metri)')
plt.ylabel('Area (m²)')
plt.show()

💡 Osservazioni:

• I problemi di ottimizzazione spesso portano a funzioni quadratiche
• Il vertice della parabola rappresenta il punto di massimo o minimo
• In questo caso, la soluzione ottimale si ha quando il lato parallelo al muro è il doppio dei lati perpendicolari

Domanda di riflessione: Perché la parabola ha concavità verso il basso? Cosa significherebbe una concavità verso l’alto in un problema di ottimizzazione?

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Esercizio 5: Tangenti a una Parabola (Livello Avanzato)

Testo: Data la parabola [math]y=x^2-3x+2[/math], determina:

• L’equazione della tangente nel punto di ascissa [math]x = 1[/math]
• Le equazioni delle tangenti parallele alla retta [math]y = 3x + 1[/math]

Risoluzione:

Parte 1: Tangente in un punto specifico

Passo 1: Coordinate del punto di tangenza

Per [math]x = 1[/math]: [math]y=1^2-3\cdot 1+2=0[/math]

Punto di tangenza: [math]P(1,0)[/math]

Passo 2: Coefficiente angolare della tangente

La derivata della funzione rappresenta il coefficiente angolare della tangente:

[math]y’=2x-3[/math]

Per [math]x = 1[/math]: [math]y'(1)=2\cdot 1-3=-1[/math]

Passo 3: Equazione della tangente

Usiamo la formula punto-pendenza: [math]y-y_0=m(x-x_0)[/math]

[math]y-0=-1(x-1)\Rightarrow y=-x+1[/math]

Parte 2: Tangenti parallele a una retta data

Passo 1: Condizione di parallelismo

La retta [math]y = 3x + 1[/math] ha coefficiente angolare [math]m = 3[/math]

Le tangenti parallele devono avere lo stesso coefficiente angolare: [math]y’=3[/math]

Passo 2: Punti di tangenza

[math]2x-3=3\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3[/math]

Per [math]x = 3[/math]: [math]y=3^2-3\cdot 3+2=9-9+2=2[/math]

Punto di tangenza: [math]Q(3,2)[/math]

Passo 3: Equazione della tangente

[math]y-2=3(x-3)\Rightarrow y=3x-9+2=3x-7[/math]

Grafico:

x = np.linspace(-1, 4, 400)
y_parabola = x**2 - 3*x + 2
y_tangente1 = -x + 1
y_tangente2 = 3*x - 7

plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.plot(x, y_parabola, 'b-', linewidth=2, label='y = x² - 3x + 2')
plt.plot(x, y_tangente1, 'r--', linewidth=1.5, label='Tangente in P(1,0): y = -x + 1')
plt.plot(x, y_tangente2, 'g--', linewidth=1.5, label='Tangente parallela a y=3x+1: y = 3x - 7')
plt.plot([1, 3], [0, 2], 'ro', markersize=6, label='Punti di tangenza')
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.title('Tangenti alla parabola')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axis('equal')
plt.ylim(-3, 6)
plt.show()

💡 Osservazioni:

• La derivata prima fornisce il coefficiente angolare della tangente
• Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare
• Per ogni punto della parabola passa una e una sola tangente

Domanda di riflessione: Come si trova l’equazione della normale (retta perpendicolare alla tangente) in un punto della parabola?

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Esercizio 6: Fascio di Parabole (Livello Difficile)

Testo: Data la famiglia di parabole: [math]y=x^2+kx+(k-2)[/math], determina:

• Il luogo dei vertici al variare di [math]k[/math]
• Il valore di [math]k[/math] per cui la parabola è tangente all’asse [math]x[/math]
• I valori di [math]k[/math] per cui la parabola passa per il punto [math]P(1, 4)[/math]

Risoluzione:

Parte 1: Luogo dei vertici

Passo 1: Coordinate del vertice in funzione di [math]k[/math]

Per [math]y=x^2+kx+(k-2)[/math], abbiamo: [math]a = 1[/math], [math]b = k[/math], [math]c = k – 2[/math]

[math]\displaystyle x_V=-\frac{k}{2}[/math]

[math]\displaystyle y_V=-\frac{\Delta}{4}=-\frac{k^2-4\cdot 1\cdot (k-2)}{4}=-\frac{k^2-4k+8}{4}[/math]

Passo 2: Eliminazione del parametro [math]k[/math]

Dalla prima equazione: [math]k=-2x_V[/math]

Sostituendo nella seconda:

[math]\displaystyle y_V=-\frac{(-2x_V)^2-4(-2x_V)+8}{4}=-\frac{4x_V^2+8x_V+8}{4}=-x_V^2-2x_V-2[/math]

Luogo dei vertici: [math]y=-x^2-2x-2[/math]

Parte 2: Tangenza all’asse [math]x[/math]

Passo 1: Condizione di tangenza

La parabola è tangente all’asse [math]x[/math] quando [math]\Delta=0[/math]

[math]\Delta=k^2-4(k-2)=k^2-4k+8=0[/math]

Passo 2: Risoluzione

[math]k^2-4k+8=0[/math]

[math]\displaystyle \Delta_k=16-32=-16<0[/math]

Nessun [math]k[/math] reale soddisfa la condizione (la parabola non è mai tangente all’asse [math]x[/math])

Parte 3: Passaggio per [math]P(1, 4)[/math]

Passo 1: Sostituzione delle coordinate

[math]4=1^2+k\cdot 1+(k-2)[/math]

[math]4=1+k+k-2=2k-1[/math]

Passo 2: Risoluzione

[math]2k-1=4\Rightarrow 2k=5\Rightarrow k=2.5[/math]

Grafico:

plt.figure(figsize=(12, 10))
# Parabole per diversi valori di k
k_values = [-3, -1, 1, 3, 2.5]
colors = ['red', 'blue', 'green', 'orange', 'purple']

x = np.linspace(-4, 4, 400)

for i, k in enumerate(k_values):
    y = x**2 + k*x + (k - 2)
    plt.plot(x, y, color=colors[i], linewidth=1.5, label=f'k = {k}')

# Luogo dei vertici
x_vert = np.linspace(-3, 3, 400)
y_luogo = -x_vert**2 - 2*x_vert - 2
plt.plot(x_vert, y_luogo, 'k--', linewidth=2, label='Luogo dei vertici')

# Punto P(1,4)
plt.plot(1, 4, 'ro', markersize=8, label='P(1,4)')

plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.title('Fascio di parabole: y = x² + kx + (k-2)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axis('equal')
plt.ylim(-5, 10)
plt.show()

💡 Osservazioni:

• Un fascio di parabole è una famiglia di curve dipendenti da un parametro
• Il luogo dei vertici è sempre una parabola
• La condizione di tangenza all’asse [math]x[/math] corrisponde a [math]\Delta = 0[/math]

Domanda di riflessione: Perché il luogo dei vertici è anch’esso una parabola? Questo vale sempre per fasci di parabole?

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Riepilogo delle Strategie Risolutive

• Formule del vertice: [math]\displaystyle V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/math]
• Forma canonica: [math]y=a(x-x_V)^2+y_V[/math] utile quando si conosce il vertice
• Sistema lineare: per determinare i coefficienti conoscendo punti della parabola
• Derivata: per trovare tangenti e normali
• Condizione [math]\Delta = 0[/math]: per la tangenza con l’asse [math]x[/math]
• Eliminazione parametro: per trovare luoghi geometrici

Questi esercizi coprono le principali applicazioni delle parabole nel piano cartesiano, dalla geometria analitica base ai problemi di ottimizzazione avanzati.

Risposte alle Domande di Riflessione