Le coniche e la loro classificazione analitica

Introduzione

Le coniche, dopo le rette sono le curve algebriche piane più semplici, alla cui famiglia appartengono anche le circonferenze.
Il nome “coniche” per tali curve discende dal fatto, ben noto già dall’antichità, che esse si possono ottenere intersecando un cono circolare retto completo con un piano.
Sono particolari coniche le ellissi, ed in particolare le circonferenze, le iperboli e le parabole le cui equazioni canoniche (cioè riferite ad opportuni assi di riferimento) sono:

Ciascuna delle precedenti equazioni è un’ equazione algebrica di secondo grado in x ed y.

Esistono altre curve piane, oltre a quelle ora citate, che sono rappresentate da un’equazione algebrica di secondo grado in x ed y?

La risposta positiva è contenuta negli esempi seguenti.

Esempio 1

Rette piane incidenti

Si consideri l’equazione

Esempio 2

due rette parallele

Si consideri l’equazione:

Esempio 3

due rette coincidenti

Si consideri l’equazione:

Esempio 4

l’insieme vuoto

L’equazione:

Esempio 5

un solo punto

L’equazione:

Coniche e loro classificazione analitica

Definizione.

Si chiama conica una curva piana rappresentabile mediante un’equazione algebrica di secondo grado nelle variabili x ed y, cioè mediante un’equazione del tipo:

Si può provare che le curve piane la cui equazione è del tipo (1) sono soltanto le seguenti:
1. un’ellisse;
2. una circonferenza (caso particolare dell’ellisse);
3. una parabola;
4. un’iperbole;
5. due rette incidenti;
6. due rette parallele;
7. due rette coincidenti;
8. un punto;
9. l’insieme vuoto.
Per riconoscere di che tipo è una conica C di equazione (1),è utile considerare la matrice simmetrica del terzo ordine:

chiamata matrice associata a C.

Il teorema seguente fornisce un rapido metodo per la classificazione delle coniche.

Teorema

Sia data la conica C di equazione (1), sia A la sua matrice associata e sia A₃₃ il complemento algebrico dell’elemento a₃₃ della matrice A.
Si hanno due casi:

1° caso: det(A) ≠ 0. Allora C  é:

2^o caso: det(A) = 0.

Allora C è costituita o da due rette incidenti o da due rette parallele, o da due rette coincidenti, o da un sol punto oppure dall’insieme vuoto.

Se det(A) = 0 si dice che C è degenere, se invece det(A) ≠ 0 si dice che C è non degenere.

Attenzione

Si osservi che nel caso della parabola, essere A₃₃= 0 equivale a dire che nella (1) il complesso dei termini di secondo grado è un quadrato “perfetto”.

Esempio 6

Classificare le coniche seguenti:

a)

b)

c)

d)

(1474)