Esercizi svolti sulle coniche (iperbole) -advanced-

Come riconoscere una conica

Esercizio 1

Si consideri la conica di equazione
−2y² + 2√3 xy − 1 = 0
(1) Riconoscere la conica,
(2) determinare le equazioni del/degli assi di simmetria,
(3) esplicitare il cambio di riferimento per avere la conica in forma canonica

Soluzione

(1)

Le coniche e la loro classificazione analitica

Costruiamo la matrice A che è associata alla conica:

Il determinante di A è:

quindi la conica non è degenere.

Inoltre, il determinante della sottomatrice associata alla forma quadratica è

quindi la conica è un’iperbole.

L’iperbole nel piano cartesiano

(2)

Per trovare gli assi di simmetria basta trovare le direzioni degli autovettori della matrice A₂; cerchiamone gli autovalori. Calcoliamo il polinomio caratteristico e troviamone le radici (sicuramente reali, poichè la matrice è reale simmetrica).

che ci dà i due autovalori
λ₁ = −3 λ₂ = 1 .

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI DI UNA MATRICE

Cerchiamo un autovettore associato al primo autovalore:

 

Questo si riduce ad un’unica equazione per le componenti incognite dell’autovettore:
√3x + y = 0 ,
ossia
y = −√3x .

Un autovettore v₁ si ottiene ponendo x = 1:

Per il secondo autovettore v2 non è necessario alcun calcolo: essendo associato ad un autovalore diverso, deve risultare ortogonale al primo, possiamo scrivere immediatamente:

e direzioni dei due autovettori coincidono con quelle degli assi di simmetria dell’iperbole; poichè mancano i termini lineari, non è necessaria alcuna traslazione: gli assi di simmetria sono, pertanto, le rette passanti per l’origine date da:

(3)

Una base di autovettori {w₁, w₂} per la nostra matrice si ottiene semplicemente normalizzando i vettori v₁, v₂; le loro rappresentazioni nella base canonica originaria sono, dunque:

La matrice M di cambio di base che permette di scrivere le coordinate

in termini delle nuove coordinate

è proprio formata da colonne dove si riportano le rappresentazioni nella vecchia base dei vettori della nuova base:

Mediante la trasformazione X = MX′ possiamo esplicitare il cambio di variabili per scrivere la forma quadratica in forma canonica:

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