Esercizi svolti sulle coniche -2-

ESERCIZIO 

Classificare, ridurre a forma canonica (completando i quadrati), e disegnare le seguenti coniche:

SOLUZIONE

Analizziamo le coniche una per volta.

γ₁.

Aggiungendo e sottraendo 1 alla sua equazione, abbiamo

Effettuando la traslazione

la conica γ₁ ha equazione

X² − Y² = 1

e quindi γ₁ è un’ iperbole avente asintoti X =Y,  X = −Y. Il centro, nel primo sistema di coordinate, è (−1, 0).

γ₂.

Aggiungendo e sottraendo 2 all’ equazione, questa diventa

Effettuando il cambio di coordinate

l’ equazione di γ₂ diventa X²−Y = 0. Quindi, γ₂ è una parabola avente vertice in (−1, −1/2) ed avente asse di simmetria parallelo all’ asse y.

γ₃.

Aggiungendo e sottraendo 18, trasformiamo l’ equazione come segue

Il cambio di coordinate che trasforma l’ equazione in forma canonica è

e la forma canonica di γ₃ è X² + 2Y² = 8. Quindi, γ₃ è un’ ellisse con centro (0, −3) e semiassi di lunghezza a = 2√2, b = 2.

γ₄.

Operiamo come nel caso precedente, ed otteniamo

La forma canonica di γ₄ è allora X² + 2Y² = −2 e quindi γ₄ è un’ ellisse senza punti reali.
Il cambio di coordinate è lo stesso di γ₃.

γ₅.

Aggiungiamo e sottraiamo 1 all’ equazione della conica, ed otteniamo

Effettuando il cambio di coordinate

si calcola la forma canonica di γ₅ che è X² − Y² = 0. Quindi, γ₅ è una conica degenere unione delle due rette di equazione X = Y,  X = −Y.

γ₆.

Operiamo sull’ equazione di γ₆ come segue

Quindi, γ₆ è una conica degenere unione delle due rette x + 1 = 0, y + 1 = 0.

Il cambio di coordinate che riporta la conica in forma canonica è

e la sua forma cononica è XY = 0.

Coniche e loro classificazione analitica

Definizione.

Si chiama conica una curva piana rappresentabile mediante un’equazione algebrica di secondo grado nelle variabili x ed y, cioè mediante un’equazione del tipo:

Si può provare che le curve piane la cui equazione è del tipo (1) sono soltanto le seguenti:
1. un’ellisse;
2. una circonferenza (caso particolare dell’ellisse);
3. una parabola;
4. un’iperbole;
5. due rette incidenti;
6. due rette parallele;
7. due rette coincidenti;
8. un punto;
9. l’insieme vuoto.
Per riconoscere di che tipo è una conica C di equazione (1),è utile considerare la matrice simmetrica del terzo ordine:

chiamata matrice associata a C.

Il teorema seguente fornisce un rapido metodo per la classificazione delle coniche.

Teorema

Sia data la conica C di equazione (1), sia A la sua matrice associata e sia A₃₃ il complemento algebrico dell’elemento a₃₃ della matrice A.
Si hanno due casi:

1° caso: det(A) ≠ 0. Allora C  é:

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