AUTOVALORI ED AUTOVETTORI DI UNA MATRICE

TEOREMA:

Un elemento λ di K è un autovalore per una matrice A, di ordine n, se e solo se, indicata con I la matrice identità di ordine n, risulta:

det( A – λI) = 0

Il determinante det(A – λI) si chiama determinante caratteristico della matrice A;

l’equazione

det(A -λI) = 0

si chiama equazione caratteristica della matrice A.

In forma sviluppata, il determinante caratteristico det(A -λI) si scrive:

Se si considera λ come uno scalare variabile in K, questo determinante è un polinomio φ(λ), di grado n, che si chiama polinomio caratteristico della matrice A.

• il grado del polinomio caratteristico di una matrice quadrata è uguale all’ordine n di questa matrice;
• il coefficiente del termine di grado massimo è ±1 a seconda che n sia pari o dispari;
• la somma degli elementi diagonali di una matrice A, si chiama “traccia” di A, e si indica con la scrittura tr(A), cioè si pone:

Risulta allora che: il coefficiente del termine in λ^(n-1) è uguale alla traccia della matrice A, moltiplicata per ±1 a seconda che n sia dispari o pari;

• il termine noto del polinomio caratteristico di una matrice A è uguale al determinante di tale matrice, cioè φ(0) = det(A).
• Se la matrice A ha gli autovalori λ₁,λ₂, …,λ_n tutti distinti, allora i corrispondenti autovettori x₁, x₂, …, x_n sono linearmente indipendenti.
• λ_O è un autovalore di A, se e solo se λ_O è una radice del polinomio caratteristico di A, cioè se:

La determinazione degli autovalori di una matrice A equivale, quindi, alla ricerca delle radici del polinomio caratteristico φ(λ) di grado n. Trovato un autovalore λ_O, allora gli autovettori corrispondenti sono le soluzioni del sistema omogeneo:

ESERCIZIO

Determinare gli autovalori e gli autovettori della matrice

Dobbiamo determinare uno scalare λ ed un vettore

tali che:

L’equazione matriciale sopra scritta è equivalente al seguente sistema lineare omogeneo:

Un sistema omogeneo ha una soluzione non nulla (soluzione non banale) solo se il determinante della matrice incompleta vale zero, cioè se risulta:

Pertanto, λ è un autovalore solo se: λ = 4 o λ = -1.

Per λ = 4, il sistema diventa:

Il vettore x = (2, 3) è un autovettore relativo all’autovalore λ = 4; ogni altro autovettore relativo a λ = 4, è un multiplo di x = (2, 3).

Per λ = –1, il sistema diventa:

Si ottiene, pertanto, che il vettore x = (x₁, x₂) = (1, –1) è un autovettore relativo all’autovalore  λ  = –1; ogni altro autovettore relativo a λ = –1, è un multiplo di x = (1, –1).