Matrici e determinanti

LE MATRICI

Consideriamo la seguente tabella di numeri:

I numeri presenti sono disposti su 3 righe e 5 colonne. Essi costituiscono un’insieme ordinato di 3 5 elementi.
Volendo rappresentare un qualunque insieme di numeri, ordinato come in una tabella, si utilizza un quadro composto da righe e da colonne, delimitato a destra e a sinistra da due parentesi quadre.
Un quadro di questo tipo viene detto matrice.

DEFINIZIONE DI MATRICE
Dati m n numeri, la tabella che li ordina in m righe e n colonne viene detta matrice.

Gli m n numeri presenti nella matrice si chiamano elementi della matrice.
Se il numero delle righe è diverso da quello delle colonne, la matrice si dice rettangolare, altrimenti si dice quadrata.

La generica matrice si indica come segue:

o, ancora, in forma compatta con A_m,n.

Ogni elemento aij della matrice è individuato da una coppia di indici (i, j) che rappresentano, rispettivamente, il numero di riga e il numero di colonna occupati dall’elemento.
Se una matrice è formata da una sola riga essa prende il nome di vettore riga, se invece è formata da una sola colonna essa prende il nome di vettore colonna. Dunque il vettore riga A_1n è del tipo:

mentre il vettore colonna A_m1 è del tipo:

Due matrici m n vengono dette dello stesso tipo e gli elementi che occupano lo stesso posto nelle due matrici si dicono elementi corrispondenti.

Due matrici dello stesso tipo sono opposte quando gli elementi corrispondenti sono opposti.

Se A è una matrice quadrata, il numero m = n dicesi dimensione o ordine della matrice quadrata.

DEFINIZIONE DI MATRICE NULLA

Dicesi matrice nulla e si indica con O_m,n la matrice di ordine m x n avente tutti gli elementi uguali a zero.

LE MATRICI QUADRATE

Una generica matrice quadrata n x n viene indicata nel seguente modo:

La diagonale principale è formata da tutti gli elementi che si trovano sulla diagonale di estremi a₁₁ e a_nn. Di conseguenza, tali elementi hanno i due indici uguali fra loro (a₁₁, a₂₂, a₃₃, …).
La diagonale secondaria è formata da tutti gli elementi che si trovano sulla diagonale di estremi a_1n e _an1. Di conseguenza, tali elementi hanno i due indici che sommati danno sempre n + 1.

ESEMPIO:

Nella seguente matrice di ordine 3:

DEFINIZIONE DI MATRICE IDENTICA

Una matrice quadrata si dice identica (o matrice unità) quando gli elementi della diagonale principale sono tutti uguali a 1 e gli altri elementi sono nulli.

La matrice identica di ordine n si indica con il simbolo I_n.

ESEMPIO:

La seguente matrice di ordine 3 è identica:

DEFINIZIONE:

Una matrice quadrata A =〈a_ij 〉 si dice triangolare superiore (o triangolare alta) se tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli.

Una matrice quadrata A =〈a_ij 〉 si dice triangolare inferiore (o bassa) se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli.

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