Altri esercizi svolti sulle matrici

 

Esercizio 1

Dopo avere stabilito se la seguente matrice è invertibile calcolarne l’inversa:

Soluzione

Poichè det(A₅) = −6 ≠ 0, la matrice A₅ è invertibile. Inoltre:

Ricordiamo che:

Complemento algebrico di una matrice (matrice dei cofattori):

Data una matrice quadrata A di ordine n (ha cioè n righe ed n colonne) il complemento algebrico di A è una matrice quadrata di ordine n il cui elemento Ai,j (cofattore) è definito dalla relazione:

cof(A,i,j) = (-1)^i+j * det(minore(A,i,j))

Nella quale il termine det(minore(A,i,j)) rappresenta il determinante del minore di A ottenuto cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima.

Esercizio 2

Sia A la matrice reale:

a) Calcolare il determinante di A e stabilire per quali valori di k la matrice `e invertibile.
b) Trovare la matrice inversa di A per k = 1.

Soluzione

a)
det(A) = (1 − 4) + 2k = 2k − 3
La matrice A è invertibile se il suo determinante è diverso da zero, ovvero se k≠ 3/2.

b) Calcoliamo l’inversa di A dopo avere posto k = 1, nel quale caso det(A) = 2 − 3 = −1.

In alternativa,

utilizzando il metodo della riduzione a gradini, dopo avere affiancato a A, con k = 1, la matrice identica:

Esercizio 3

Sia A la matrice reale:

a) Si determini per quali valori di k la matrice A `e invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = −1.
b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

Soluzione

a) Una matrice quadrata è invertibile se ha determinante diverso da zero, ovvero se ha rango massimo. Calcoliamo quindi il determinante di A sviluppando rispetto alla seconda riga:
det(A) = (2k − 2) · [k(2 − k) − k] = (2k − 2)(−k² + k)

Quindi det(A) = 0 se:
2k − 2 = 0 ⇒ k = 1
− k² + k = 0 ⇒ k = 0 o k = 1.

Infine A è invertibile se k≠ 0 e k≠ 1.

Calcoliamo l’inversa di A quando k = −1 con il metodo della riduzione:

Matrice singolare e rango

Una matrice A si dice singolare se det(A) = 0.
Si definisce rango (o caratteristica) della matrice A_m×n il numero ρ(A_m×n) definito come il massimo intero p per cui esiste almeno un minore D_p non nullo.
Valgono le seguenti proprietà:

ρ(A) ≤ min{m,n}
se ρ(A) = min{m,n}, la matrice A si dice a rango pieno
se ρ(A) < min{m,n}, la matrice non ha rango pieno e si dice che cade di rango
ρ(A·B) ≤ min{ρ(A),ρ(B)}
ρ(A) = ρ(A^T)
ρ(A·A^T) = ρ(A^T·A) = ρ(A)
se A_n×n e detA < n la matrice non ha rango pieno

Esercizio 4

Sia A la matrice reale:

Stabilire per quali valori di t la matrice A_t è invertibile.

Soluzione

A_t è invertibile se il suo determinante è diverso da zero, ovvero se il suo rango è 3. Riduciamo quindi A a gradini per stabilire se è invertibile.

Quindi A_t ha rango 3, cioè A_t è invertibile, se t ≠ 0,1/2
In alternativa potevamo calcolare direttamente il determinante:

det(A_t) = −t(1 − 2t)

e A_t è invertibile se det(A_t) ≠ 0, ovvero se t ≠ 0,1/2

 

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