Matrice inversa. Esercizi risolti con diversi metodi

Metodo di Gauss-Jordan per l’inversione di una matrice

Sappiamo che un modo per determinare l’eventuale inversa di una matrice quadrata A consiste nel risolvere il sistema lineare generale ad essa associato Ax = b (b colonna di parametri), esprimere la soluzione nella forma x = Cb, e infine prendere la matrice C.

Esempio

Per determinare l’eventuale inversa della matrice:

consideriamo il sistema lineare

questo sistema è sempre determinato, con soluzione

concludiamo che A è invertibile e

Una versione più efficiente di questo metodo è data nella seguente Proposizione; nel cui enunciato col termine ”operazione elementare” sulle righe di una matrice intendiamo una delle seguenti operazioni:

(1) sommare ad una riga un multiplo scalare di un’altra riga,
(2) scambiare due righe,
(3) moltiplicare una riga per uno scalare non nullo.

Proposizione 1

Una matrice A quadrata di ordine n è invertibile se e solo se la matrice di tipo n × (2n)

[ A | I_n ]

si può trasformare mediante una sequenza di operazioni elementari sulle righe in una matrice della forma

[ I_n | C ] ;

inoltre, in caso affermativo, si ha

C = A⁻¹

Esempio

Usando il metodo dato da questa proposizione, per determinare l’eventuale inversa della matrice

consideriamo la matrice

questa matrice si può trasformare mediante operazioni elementari nella matrice:

concludiamo che A è invertibile e

 

Esempio

Calcolare l’inversa delle matrici:

utilizzando il metodo della riduzione a gradini.

1. Consideriamo la matrice A e procediamo affiancando ad A la matrice identica 2 × 2:

2) Consideriamo la matrice B e procediamo affiancando a B la matrice identica 3 × 3:

 

Esistono vari metodi per il calcolo dell’inversa di una matrice quadrata invertibile A:

Matrici di ordine 2

La matrice inversa di una matrice 2 per 2 invertibile:

Metodo della matrice dei cofattori

Data una matrice A quadrata e invertibile:

dove det(A) è il determinante di A, la matrice cof A la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici) e l’esponente T indica l’operazione di trasposizione di matrici.

Uno schema mnemonico per la variazione del segno

$(-1)i+j$

 

è il seguente:

Esempio

Dopo avere stabilito se la seguente matrice è invertibile calcolarne l’inversa:

Poichè det(A₁) = −1 − 4 = −5 la matrice A₁ è invertibile. Inoltre

Esempio

Dopo avere stabilito se la seguente matrice è invertibile calcolarne l’inversa:

Poichè det(A₄) = 10 ≠ 0, la matrice A₄ è invertibile. Inoltre

Esempio

Dopo avere stabilito se la seguente matrice è invertibile calcolarne l’inversa:

Poichè det(A₆) = 4 6= 0, la matrice A₆ è invertibile. Inoltre

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