Operazioni con le matrici

 Algebra delle matrici

DEFINIZIONE (matrice somma)

Se A e B sono due matrici dello stesso tipo, dicesi matrice somma di A e B e si indica con A + B, la matrice dello stesso tipo i cui elementi sono ciascuno la somma degli elementi corrispondenti della matrici date. Cioè, se

 

DEFINIZIONE (matrici identiche) 

Se A e B sono due matrici di ordine m x n, si dice che A = B se gli elementi corrispondenti di A e B sono a due a due uguali.

DEFINIZIONE (matrice opposta) 

Se A =〈aij 〉 è una matrice di ordine (m,n), dicesi matrice opposta di A e si indica con –A, la matrice i cui elementi sono gli elementi opposti degli elementi corrispondenti di A.

ESEMPIO

DEFINIZIONE (matrice differenza)

Se A e B sono due matrici dello stesso tipo, dicesi matrice differenza di A e B e si indica con A – B, la matrice dello stesso tipo i cui elementi sono ciascuno la differenza degli elementi corrispondenti della matrici date. Cioè, se

La differenza di due matrici si può definire come somma della prima matrice con l’opposta della seconda:
A – B = A + (- B).
Poiché il risultato di un’addizione fra matrici dello stesso tipo è ancora una matrice dello stesso tipo, l’addizione è un’operazione interna nell’insieme delle matrici dello stesso tipo.

ESEMPIO:

Le proprietà dell’addizione
L’addizione fra matrici dello stesso tipo gode delle seguenti proprietà:
• proprietà associativa:
A + (B + C) = (A + B) + C;
• proprietà commutativa:
A + B = B + A;
• ammette come elemento neutro la matrice nulla dello stesso tipo:
A + 0 = 0 + A = A
per ogni matrice A.

Il prodotto di una matrice per un numero reale

Il prodotto di una matrice per un numero reale k è una matrice dello stesso tipo i cui elementi sono tutti moltiplicati per k.

ESEMPIO:

Per il prodotto di uno scalare per una matrice, sussistono le seguenti proprietà:

Il prodotto di una matrice riga per una matrice colonna

DEFINIZIONE
Il prodotto di una matrice riga 1 x n per una matrice colonna n x 1, con lo stesso numero di elementi, è una matrice formata da un solo elemento, ottenuto sommando fra loro i prodotti degli elementi corrispondenti.

ESEMPIO
Calcoliamo il prodotto di una matrice riga di 3 elementi per una matrice colonna, sempre di 3 elementi:

Il prodotto di una matrice m x n per una matrice n x p

DEFINIZIONE
Il prodotto di una matrice A di tipo m x n per una matrice B di tipo n x p è una matrice C di tipo m x p, il cui elemento c_hk è dato dal prodotto della riga numero h della prima matrice per la colonna numero k della seconda matrice.

ESEMPIO

Calcoliamo il prodotto fra una matrice 2 x 3 e una matrice 3 x 4.
Scriviamo la matrice prodotto 2 x 4 con gli elementi generici:

Determiniamo gli elementi della prima riga della matrice prodotto, moltiplicando la prima riga della prima matrice per tutte le colonne della seconda matrice.

Calcoliamo a₁₁:

Quindi a₁₁ = 2. Analogamente, si ottiene: a₁₂ = 1, a₁₃ = 4 e a₁₄ = 3.
Gli elementi della prima riga della matrice prodotto sono: 2, 1, 4, 3.
Determiniamo gli elementi della seconda riga della matrice prodotto, moltiplicando la seconda riga della prima matrice per tutte le colonne della seconda matrice. Calcoliamo a₂₁:

Quindi a₂₁ = – 11. Analogamente: a₂₂ = 5, a₂₃ = – 17 e a₂₄ = 5.
Gli elementi della seconda riga sono: -11, 5, -17, 5.
Possiamo scrivere:

 

Esempio

Le proprietà di cui gode la moltiplicazione fra matrici:

• proprietà associativa:
(A * B) * C = A * (B * C);
• proprietà distributiva (a sinistra e a destra) della moltiplicazione rispetto all’addizione:
A * (B + C) = A * B + A * C; (A + B) $ C = A * C + B * C.

Vale anche la proprietà distributiva della moltiplicazione di un numero rispetto all’addizione di matrici:
α * (A + B) = α * A +α * B, α ∈ R.
Inoltre, se A e B sono matrici quadrate di ordine n:
• la moltiplicazione per la matrice nulla ha per prodotto la matrice nulla:
A * O = O * A = O;
• la moltiplicazione per la matrice identica ha per prodotto la matrice stessa:
A * I_n = I_n * A = A,
quindi la matrice identica di ordine n, I_n, è l’elemento neutro della moltiplicazione fra matrici quadrate di ordine n;
Non vale la legge di annullamento del prodotto. Infatti, la matrice prodotto A* B può essere la matrice nulla O senza che siano nulle le matrici A e B.

ESEMPIO

Non vale la legge di semplificazione, ossia si può verificare che da A*B = A* C non segua necessariamente che B = C .

Si noti che il prodotto di matrici righe per colonne è possibile solo quando il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. Poiché quando si inverte l’ordine delle matrici questa condizione non è in generale soddisfatta, si può affermare che in generale non vale la proprietà commutativa per tale operazione.
Anche per le matrici quadrate dello stesso ordine non vale in generale la proprietà commutativa del prodotto, come mostra il seguente esempio.

Dunque, quando si opera con le matrici bisogna fare molta attenzione: per esse non valgono tutte le proprietà delle operazioni con i numeri semplici.
Sussiste la seguente definizione.
Definizione  Se A e B sono due matrici quadrate dello stesso ordine, diremo che A e B sono permutabili se risulta:
A × B = B × A.
Definizione (potenza di una matrice) Se A è una matrice quadrata di ordine m e se n è un numero naturale, dicesi potenza n_sima di A la matrice
Aⁿ = A × A ×…×A.

DEFINIZIONE DI MATRICE TRASPOSTA

Se A è una matrice di ordine m x n, dicesi trasposta di A la matrice indicata con A^T, di ordine n x m, che si ottiene da A scambiando le righe con le colonne.

Proprietà della trasposta

Se A è una matrice quadrata di ordine n,  si dimostra che:
a) (A^T)^T = A
b) A è simmetrica se A^T = A
c) A è antisimmetrica se A^T = – A

Esempio.

DEFINIZIONE DI MATRICE SIMMETRICA

Una matrice simmetrica è una matrice quadrata di ordine n con gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale.

Tutti gli elementi della matrice simmetrica soddisfano l’uguaglianza a_ij = a_ji per ogni i,j=1,…,n.

Soltanto le matrici quadrate possono essere simmetriche. Le matrici con un numero di righe diverso dalle colonne ( m≠n ) non possono essere simmetriche, perché le dimensioni della matrice iniziale e della matrice opposta sono diverse. Inoltre, soltanto le matrici quadrate hanno la diagonale.

Come calcolare la matrice simmetrica

Ogni matrice quadrata di ordine n può assumere una forma simmetrica.

Per calcolare la matrice simmetrica di una matrice quadrata A si utilizza la seguente formula:

ESEMPIO:

La differenza tra matrice simmetrica e antisimmetrica

In una matrice simmetrica vale la relazione a_ij=a_ji tra gli elementi. In una matrice antisimmetrica, invece, gli elementi corrispondenti sono l’opposto a_ij=-a_ji.

Da ricordare sulle matrici simmetriche

• Tutte le matrici nulle sono matrici simmetriche
• Tutte le matrici diagonali sono matrici simmetriche
• La somma della matrice simmetrica A^S e antisimmetrica A^AS dà come risultato la matrice iniziale A.

Proprietà delle matrici asimmetriche

Gli elementi della diagonale principale di una matrice anti-simmetrica sono tutti nulli.

ESEMPIO

Rango di una matrice

 

(1943)

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