Tutto, ma proprio tutto sulle matrici

Nel vasto e interconnesso mondo che ci circonda, dalle reti sociali alle infrastrutture di trasporto, dai circuiti elettronici alle relazioni biologiche, i grafi sono uno strumento matematico fondamentale per modellare le connessioni e le relazioni tra entità. Ma come possiamo rappresentare e analizzare in modo efficiente queste strutture complesse? È qui che entrano in gioco le ...

  Esercizio 1 Dopo avere stabilito se la seguente matrice è invertibile calcolarne l’inversa: Soluzione Poichè det(A5) = −6 ≠ 0, la matrice A5 è invertibile. Inoltre: Ricordiamo che: Complemento algebrico di una matrice (matrice dei cofattori): Data una matrice quadrata A di ordine n (ha cioè n righe ed n colonne) il complemento algebrico di A è una matrice quadrata di ...

Se provi a immaginare una tempesta che stravolge tutto ciò che incontra, noterai che, nel caos, c’è sempre qualcosa che resta immobile o che si muove lungo una linea precisa. In matematica succede lo stesso. Quando una matrice “scuote” lo spazio, deformando vettori e coordinate, quasi tutto cambia direzione. Eppure, esistono delle linee di forza che ...

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI DI UNA MATRICE TEOREMA: Un elemento λ di K è un autovalore per una matrice A, di ordine n, se e solo se, indicata con I la matrice identità di ordine n, risulta: det( A – λI) = 0 Il determinante det(A – λI) si chiama determinante caratteristico della matrice A; l’equazione det(A -λI) = 0 si ...

Quando affrontiamo lo studio delle coniche, la tentazione più comune è imparare a memoria un elenco di formule per centri, fuochi, vertici e assi, applicandole poi in modo meccanico. Questo metodo funziona finché l’equazione è già nella forma che ci aspettiamo. Ma cosa succede quando compare un termine come \displaystyle \begin{aligned} xy \end{aligned} e l’ellisse o l’iperbole è ruotata rispetto agli ...

Se dovessimo riassumere l’anima di una matrice in un unico numero, quel numero sarebbe il determinante. Non è solo un noioso passaggio algebrico da imparare per superare un esame; è la bussola che ci dice se un sistema di dati è sano o se sta per collassare su se stesso. Pensatelo come un indicatore di ...

Calcolare la centesima potenza di una matrice moltiplicandola per sé stessa cento volte non è esattamente il modo più piacevole di studiare algebra lineare. Eppure, in molti problemi matematici e applicativi, le potenze di una matrice sono proprio ciò che dobbiamo calcolare. Una matrice può descrivere, per esempio, l’evoluzione di un sistema nel ...

  Esercizi sulle matrici Esercizio 1 (Facile) Problema: Date le matrici . Soluzione: La somma di due matrici si ottiene sommando gli elementi corrispondenti: A + B = \begin{pmatrix} 1+2 & 2+0 \\ 3+1 & ...

Esercizio 1: Scomposizione di un vettore e somma di vettori Un aeroplano vola con una velocità di 250 km/h in direzione nord-est (45° rispetto all’asse nord). Dopo un’ora, vira e vola per 150 km in direzione sud-est (45° rispetto all’asse sud). Calcola: Le componenti del vettore velocità iniziale rispetto agli assi nord-sud ed est-ovest. Lo spostamento totale dell’aeroplano ...

Esercizio 1: Previsioni meteorologiche semplificate Immagina un sistema meteorologico semplificato con due soli stati: “Sole” e “Pioggia”. Supponiamo che la probabilità che domani ci sia il sole, dato che oggi c’è il sole, sia del 70% (0.7). La probabilità che domani piova, dato che oggi c’è il sole, è quindi del 30% (0.3). Se oggi piove, ...

Siamo abituati a pensare all’algebra lineare come a una distesa di tabelle numeriche e calcoli mnemonici. Ma se proviamo a spostare lo sguardo dalle matrici allo spazio che ci circonda, ci accorgiamo che quelle cifre non sono altro che istruzioni di movimento. Una trasformazione lineare è, in sostanza, il linguaggio con cui spieghiamo a un computer come ...

Più che un semplice numero, il determinante è una specie di “responso”. È il valore che dice a un ingegnere se una struttura reggerà (stabilità), a un programmatore grafico di quanto un’area è stata trasformata, o a un economista se il suo modello ha un equilibrio unico. Non è solo un esercizio astratto da esame; è ...

A ogni matrice quadrata viene associato un numero reale, detto determinante della matrice. Per indicare il determinante di una matrice si può scrivere «det» davanti alla matrice, oppure scrivere gli stessi elementi della matrice, delimitati da due righe verticali DEFINIZIONE. Determinante di una matrice di ordine 1 Il determinante di una matrice del primo ordine è ...

Ci hanno sempre raccontato una bugia sull’algebra lineare: che serve a risolvere sistemi di equazioni su un foglio a quadretti. La verità è molto più sporca e interessante. Quelle righe e colonne non sono scatole vuote; sono il codice genetico di un sistema dinamico. Immaginate di dover gestire una riserva di pesca o di dover calcolare ...

Il rango di una matrice Premettiamo la seguente definizione. Minore di una matrice Se A è una matrice di ordine m x n e se r è un numero naturale minore o uguale sia di m che di n, dicesi minore estratto di ordine r della matrice A, ogni determinante formato da r righe e da r colonne ...