5 esercizi di trigonometria sulla risoluzione di triangoli rettangoli, con difficoltà crescente

Esercizio 1 Livello base :

In un triangolo rettangolo ABC, con angolo retto in C, l’angolo β (in B) misura 60° e il cateto adiacente a β (BC) misura 8 cm. Calcola la lunghezza dell’ipotenusa AB.

Soluzione:

Usiamo la definizione di coseno:

cos(β) = cateto adiacente / ipotenusa

Quindi cos(60°) = 8 / AB.

Dato che cos(60°) = 1/2, abbiamo 1/2 = 8 / AB, da cui AB = 16 cm.

Esercizio 2 Livello intermedio (uso del teorema di Pitagora):

 In un triangolo rettangolo ABC, con angolo retto in C, il cateto AC misura 6 cm e l’ipotenusa AB misura 10 cm. Calcola la lunghezza del cateto BC e l’angolo α (in A).

Soluzione:

Usiamo il teorema di Pitagora: AC² + BC² = AB².

Quindi 6² + BC² = 10², da cui BC² = 100 – 36 = 64, e quindi BC = 8 cm.

Per trovare l’angolo α, possiamo usare la definizione di seno:

sin(α) = BC / AB = 8 / 10 = 0.8.

Usando la funzione arcoseno , troviamo α = arcsin(0.8) ≈ 53.13°.

Usando una calcolatrice scientifica (assicurati che sia in modalità “gradi” o “degrees”), calcoliamo l’arcoseno di 0.8: α ≈ 53.13°.

La funzione arcoseno

Esercizio 3 Livello intermedio (uso della tangente):

Esercizio: In un triangolo rettangolo ABC, con angolo retto in C, il cateto AC misura 4 cm e il cateto BC misura 7 cm. Calcola l’angolo α (in A).

Soluzione:

Usiamo la definizione di tangente:

tan(α) = cateto opposto / cateto adiacente = BC / AC = 7 / 4 = 1.75.

Usando la funzione arcotangente (tan⁻¹), troviamo α = arctan(1.75) ≈ 60.26°.

La funzione arcotangente

Esercizio 4 Livello avanzato :

Un osservatore si trova a 15 metri dalla base di un albero. L’angolo di elevazione tra l’orizzontale e la cima dell’albero è di 40°. Calcola l’altezza dell’albero.

Soluzione:

Visualizzazione del problema: Immagina un triangolo rettangolo.

• La base del triangolo è la distanza tra l’osservatore e l’albero (15 metri).
• L’altezza del triangolo è l’altezza dell’albero (la nostra incognita).
• L’angolo tra la base e l’ipotenusa (la linea di vista dell’osservatore verso la cima dell’albero) è l’angolo di elevazione di 40°.

Scelta della funzione trigonometrica: Abbiamo il cateto adiacente e vogliamo trovare il cateto opposto. La funzione trigonometrica che mette in relazione questi due cateti è la tangente:

tan(angolo) = cateto opposto / cateto adiacente

Impostazione dell’equazione: Sostituiamo i valori noti nella formula della tangente:

tan(40°) = altezza / 15

Calcolo della tangente di 40°: Usando una calcolatrice scientifica (assicurati che sia impostata in gradi), calcoliamo la tangente di 40°:

tan(40°) ≈ 0.839

Risoluzione dell’equazione: Ora abbiamo:

0.839 ≈ altezza / 15

Per trovare l’altezza, moltiplichiamo entrambi i lati dell’equazione per 15:

altezza ≈ 0.839 * 15.

⇒ altezza ≈ 12.59 metri.

Esercizio 5 Livello molto avanzato (combinazione di più concetti):

Due osservatori A e B distano tra loro 20 metri. Entrambi osservano la cima di una torre. L’angolo di elevazione da A è di 30°, mentre l’angolo di elevazione da B è di 60°. Assumendo che A, B e la base della torre siano allineati, calcola l’altezza della torre.

Soluzione:

Dati:

• Distanza tra gli osservatori A e B: 20 metri.
• Angolo di elevazione da A: 30°.
• Angolo di elevazione da B: 60°.
• A, B e la base della torre sono allineati.

Obiettivo:

• Calcolare l’altezza della torre (h).

Angoli di elevazione (non esplicitamente indicati nel disegno, ma impliciti): L’angolo tra la linea orizzontale (terreno) e la linea tratteggiata che parte da A è di 30°. L’angolo tra la linea orizzontale e la linea tratteggiata che parte da B è di 60°.

Disegno e definizione delle variabili: Disegna un diagramma. Rappresenta la torre come un segmento verticale, gli osservatori A e B come punti sulla stessa linea orizzontale alla base della torre. Indica l’altezza della torre con h. Chiama x la distanza tra l’osservatore A e la base della torre. Di conseguenza, la distanza tra l’osservatore B e la base della torre sarà (20 – x).

Impostazione delle equazioni: Possiamo usare la funzione tangente per impostare due equazioni, una per ogni osservatore:

Dall’osservatore A: tan(30°) = h / x
Dall’osservatore B: tan(60°) = h / (20 – x)
Calcolo delle tangenti: Calcoliamo i valori delle tangenti:

tan(30°) = √3 / 3 ≈ 0.577
tan(60°) = √3 ≈ 1.732
Sostituzione e risoluzione del sistema: Ora abbiamo il sistema di equazioni:

√3 / 3 = h / x
√3 = h / (20 – x)
Possiamo risolvere questo sistema in diversi modi. Un metodo è isolare h in entrambe le equazioni e poi uguagliarle:

h = (√3 / 3) * x
h = √3 * (20 – x)
Uguagliando le due espressioni per h:

(√3 / 3) * x = √3 * (20 – x)

Semplificazione e risoluzione per x: Possiamo semplificare dividendo entrambi i lati per √3:

x / 3 = 20 – x

Moltiplichiamo entrambi i lati per 3:

x = 60 – 3x

Aggiungiamo 3x a entrambi i lati:

4x = 60

Dividiamo entrambi i lati per 4:

x = 15 metri

Calcolo dell’altezza h: Ora che conosciamo x, possiamo sostituirlo in una delle equazioni originali per trovare h. Usiamo la prima equazione:

h = (√3 / 3) * x = (√3 / 3) * 15 = 5√3

Calcolo del valore approssimato di h:

h ≈ 5 * 1.732 ≈ 8.66 metri (se si usa l’approssimazione di √3)

oppure

h ≈ 5 * 1.732 ≈ 8.66 metri (se si usa l’approssimazione precedente di tan 30)

oppure

h = 15/√3 = 5√3 che approssimato è 8,66 metri

Risposta:

L’altezza della torre è 5√3 metri, che è approssimativamente uguale a 8.66 metri.

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