La funzione arcoseno

DEFINIZIONE DELLA FUNZIONE ARCOSENO

Dato un qualunque numero x compreso tra −1 ed 1 (estremi inclusi), si dice arcoseno del numero x (e si indica con arcsen x), l’unico angolo α compreso tra – π/2 e π/2 tale che sen α è uguale ad x.

Perciò poniamo arcsen x = α se risulta sen α = x, ma con la limitazione  – π/2 ≤ α ≤ π/2.

Da un punto di vista geometrico, determinare l’arcoseno di un numero a equivale a considerare l’unica intersezione tra la retta di equazione y= a e la semicirconferenza goniometrica giacente nel semipiano delle ascisse non negative. Se a è positivo l’intersezione cade nel primo quadrante, ed in tal caso considereremo come arcoseno di a l’angolo α acuto come in figura, contato nel verso positivo. Se invece a è negativo l’intersezione cade nel quarto quadrante, ed in tal caso l’arcoseno di a è l’angolo α acuto contato nel verso negativo.

Sulla base di quanto detto sopra, abbiamo ad esempio:

mentre ad esempio sarebbe errato scrivere:

arcsen 1/2  = 5π/6

è vero che

sen 5π/6 = 1/2

ma per definire arcsen 1/2 si considera, tra gli infiniti angoli aventi seno uguale a 1/2,  l’unico che giace tra  – π/2 e π/2 cioè π/6.

Grazie alle proprietà della funzione seno, è facile rendersi conto del fatto che per ogni x ∈ [−1 , 1] si ha arcsen(−x) = −arcsen x; cioè, l’arcoseno è una funzione dispari.

Il grafico della funzione arcoseno

Le soluzioni dell’equazione sen x = a

Ora, grazie all’introduzione della funzione arcoseno, siamo in grado di esprimere le soluzioni dell’equazione sen x = a.

Ad esempio, si consideri  l’equazione sen x = 1/3:

l’unico angolo del primo quadrante avente seno uguale a 1/3 si può esprimere come arcsen 1/3, perciò, seguendo quanto detto prima, possiamo esprimere tutte le soluzioni come segue:

Per a negativo la situazione è simile.

Si debba risolvere ad esempio l’equazione sen x = -2/7:

L’unico angolo compreso tra – π/2 e π/2 il cui seno è -2/7 si può indicare con arcsen(-2/7) o anche come -arcsen 2/7 ed è compreso tra – π/2 e 0.

Come abbiamo osservato prima, nell’ambito di un periodo c’è un altra soluzione, che cade nel terzo quadrante. Possiamo indicare tale angolo con  π – arcsen(-2/7) , che è come dire π + arcsen 2/7.

In conclusione, tutte le soluzioni dell’equazione data sono:

Generalizzando,

per a ∈ (0 , 1), si potranno esprimere le soluzioni dell’equazione sen x = a come segue:

mentre per a ∈ (−1 , 0), si potrà scrivere ad esempio

facendo però attenzione alla scelta di k se occorre determinare le soluzioni che cadono in un determinato intervallo.

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