Trigonometria: i poligoni

POLIGONI

Per risolvere i problemi sui poligoni bisogna scomporli in triangoli.

Leggi: Trigonometria: i triangoli

Proprietà degli angoli interni di un poligono

Una proprietà importante a tal fine è la seguente:

la somma degli angoli interni (Σα) di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanto il numero di lati (n) diminuito di due.

Nel caso di un quadrilatero la somma degli angoli interni è 360°.

Nota bene!

Per poter risolvere un poligono di n lati bisogna conoscere almeno (2n – 3) elementi, dei quali almeno (n–2) lati.

Quindi per risolvere un quadrilatero bisogna conoscere almeno 5 elementi tra cui un minimo di 2 lati.
Vediamo come operare nel caso dei quadrilateri.

Quadrilateri

Nella divisione in due triangoli si sceglie la diagonale che permette di avere un triangolo risolvibile con gli elementi noti. Quindi si passa all’altro triangolo ora risolvibile con i nuovi elementi; infine si ricompongono elementi angolari parziali.

Esempio 1:

Sono noti 4 lati e un angolo.

• Si divide il quadrilatero con la diagonale BD che non taglia l’angolo α noto.
• Si risolve il triangolo ABD di cui si conoscono due lati e l’angolo compreso.
• Conoscendo ora la diagonale BD, si può risolvere anche il triangolo BCD.
• Sommando gli angoli in B e in D si definiscono tutti gli elementi del quadrilatero.

Esempio 2:

Sono noti 3 lati e 2 angoli tra loro opposti.

• Si divide il quadrilatero con la diagonale AC che non taglia i due angoli β e δ noti.
• Si risolve il triangolo ABC di cui si conoscono due lati e l’angolo compreso.
• Conoscendo ora la diagonale AC, si può risolvere anche il triangolo ACD.
• Sommando gli angoli in A e in C si definiscono tutti gli elementi del quadrilatero.

Esempio 3:

Sono noti 2 lati e 3 angoli.

Dagli angoli noti (α, β, γ) si ricava
α = 360° – ( β + γ + δ)
Si risolve il triangolo ABC di cui si conoscono due lati e l’angolo compreso.
I nuovi dati sono AC e gli angoli di ABC; con questi ultimi si ottengono per differenza da α e γ gli angoli del triangolo ACD; quest’ultimo è ora risolvibile perché sono noti 3 angoli e un lato.

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