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FUNZIONI TANGENTE E COTANGENTE
In una circonferenza goniometrica si traccia la tangente geometrica per il punto A, origine degli archi e degli angoli, e si trova T, intersezione con
la prosecuzione del raggio OB. Il segmento AT è funzione dell’angolo α; questa funzione gonimetrica prende il nome di tangente.
La tangente
Si chiama tangente di un angolo l’ascissa del punto d’intersezione tra la tangente geometrica alla circonferenza goniometrica nel punto di origine degli angoli e il lato terminale dell’angolo stesso.
La tangente di un angolo α viene indicata con tg α.
Osservando la figura si può notare che i triangoli OCB e OAT sono simili, pertanto tra i loro lati sussiste la proporzione:
Sostituendo in essa le funzioni goniometriche già note si ha:
tg α : sen α = 1 : cos α
e quindi
La seconda relazione fondamentale della goniometria
La cotangente
Se nella precedente figura aggiungiamo la tangente geometrica per il punto D (estremo del primo quadrante), possiamo individuare il punto E su OT (lato terminale dell’angolo α).
Il segmento DE è anch’esso funzione di α, ed è chiamato cotangente.
La cotangente di un angolo è l’ordinata del punto d’intersezione tra la tangente geometrica alla circonferenza goniometrica nell’estremo del primo quadrante e il lato terminale dell’angolo stesso.
La cotangente di un angolo α viene indicata con cotg α.
Osservando la figura si può notare che i triangoli ODE e OAT sono simili, pertanto tra i loro lati sussiste la proporzione:
Sostituendo in essa le funzioni goniometriche già note, si ha:
VARIAZIONE DELLE FUNZIONI TANGENTE E COTANGENTE
Studiando le variazioni di tangente e cotangente al variare dell’angolo α, si può notare che:
• per α = 0° si verifica che tg α = 0 cotg 0° = ±∞
• per α = 90° si verifica che tg 90° = ± cotg 90° = 0
• per α = 180° si verifica che tg 180° = 0 cotg 180° = ± ∞
• per α = 270° si verifica che tg 270° = ± cotg 270° = 0
• per α = 360° si verifica che tg 360° = 0 cotg 360° = ± ∞
• per α > 360° si ripetono periodicamente gli stessi valori precedenti, sempre compresi tra 0 e ± ∞.
Variazioni della tangente
La funzione tg α coincide con la lunghezza del segmento AT; crescendo l’angolo, il segmento AT dal valore 0 aumenta con valori positivi fino
all’angolo di 90° (qui ha un valore infinito, ∞ ), oltre il quale diviene negativo e tende al valore 0 quando α = 180°. Con analogo andamento la
funzione tg α cresce con valori positivi fino a 270° (dove ha valore ∞ ) e di nuovo tende al valore 0 verso 360°.
Variazioni della cotangente
La funzione cotg α coincide con la lunghezza del segmento ED; quando α = 0, la funzione cotg α ha un valore positivo e infinito (∞ ). Essa
diminuisce fino a 90° (dove ha valore 0) per poi aumentare con valori negativi fino a 180° (dove ha valore ∞ ); in seguito passa a valori positivi che
tendono al valore 0 sui 270° e ancora negativi verso il valore ∞ a 360°.
Dalle precedenti osservazioni e mediante relazioni con le funzioni seno e coseno, è possibile calcolare i valori delle funzioni tangente e cotangente di angoli notevoli.
Angoli notevoli
Volendo rappresentare graficamente le variazioni delle funzioni tangente e cotangente, su una coppia di assi cartesiani si possono riportare sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y i valori della funzione goniometrica.
La curva che rappresenta la funzione tangente è chiamata tangentoide, mentre è detta cotangentoide quella della cotangente.
La tangentoide
La cotangentoide
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